**斐波那契數列魔法塔數字量與層數的關係**
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斐波那契數列魔法塔；
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S[n]=max(3S[n-4]-S[n-8]，2S[n-3])（證明略）
假設S[n]≡3S[n-4]-S[n-8]
現先證明S[n]=S[n-2]+S[n-4]
由暴力求解的結果有；
S[m]=S[m-2]+S[m-4]（m=7~18共12項）
假設n從某個數k到k+11，均滿足S[i]=S[i-2]+S[i-4]（i=k~k+11共12項）
則；
S[k+12]
=3S[k+8]-S[k+4]
=3(S[k+6]+S[k+4])-(S[k+2]+S[k])
=(3S[k+6]-S[k+2])+(3S[k+4]-S[k])
=S[k+10]+S[k+8]
所以S[n]=S[n-2]+S[n-4]成立。
所以S[n]=max(3S[n-4]-S[n-8]，2S[n-3])=max(S[n-2]+S[n-4]，2S[n-3])
現比較S[n-2]+S[n-4]與2S[n-3]的大小；
◆①由暴力求解的結果得出n=13~18且為偶數時，均有S[n-2]+S[n-4]=2S[n-3]
假設存在偶數k，使S[n-2]+S[n-4]=2S[n-3]（n≤k均成立）
則有S[k-4]+S[k-6]=2S[k-5]與S[k-2]+S[k-4]=2S[k-3]兩式相加得
S[k]+S[k-2]=2S[k-1]，即當n=k+1時也成立，所以n為偶數時有
S[n]=S[n-2]+S[n-4]=2S[n-3]，又有n為偶數時，有X[n]=2（證明略）
◆②由暴力求解的結果得出n=13~18且為奇數時，均有S[n-2]+S[n-4]>2S[n-3]
假設存在奇數k，使S[n-2]+S[n-4]>2S[n-3]（n≤k均成立）
則有S[k-4]+S[k-6]>2S[k-5]與S[k-2]+S[k-4]>2S[k-3]兩式相加得
S[k]+S[k-2]>2S[k-1]，即當n=k+1時也成立，所以n為奇數時有；
S[n]=S[n-2]+S[n-4]，又有n為奇數時，有X[n]=1（證明略）
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綜上
◆①最高層層數遞推公式：S[n]=S[n-2]+S[n-4]（n≥7，S[3]=2，S[4]=2，S[5]=3，S[6]=4）
◆②X[2n+1]=1，X[2n]=2（12數以上成立，因為3，6，9，12對稱解在最高層）
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作者：高明秋(廣西)
釋出：萬樹軍(香港)
2020年11月20日

斐波那契數列魔法塔數字量與層數的關係

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