在搞「模擬面試」的日子，我發現大家普遍有個問題就是，感覺自己的能力總是到了瓶頸期，寫了好幾年程式碼，感覺只是會的框架比以前多了而已。去大公司面試，屢戰屢敗，問失敗原因，大多數人的答案都是，在三面資料結構與演算法的時候，直接就掛了。
而不少人表示，我資料結構與演算法潛心修煉，把書都啃爛了，倒背如流，但每次一面試，咋就是不會呢？
歸根結底，還是思維訓練的問題，很多人知其然而不知其所以然，所以，南塵就儘量地貼近大家的常態化思維去幫助大家訓練演算法吧。
昨天已經給大家預告了，不知道小夥伴們下來有沒有去自己嘗試處理。但不管怎樣，要想訓練好演算法，但聽別人講不去思考，是肯定沒用的。好了廢話不多說，進入正題！
來到今天的面試題
面試題：一直青蛙一次可以跳上 1 級臺階，也可以跳上 2 級，求該青蛙跳上 n 級的臺階總共有多少種跳法。
題目來源於《劍指 Offer》
一看這道題，好像沒啥思路，感覺和我們的資料結構和常用的演算法好像一點都不沾邊。
但這看起來就像一道數學題，而且似乎就是高考數學的倒數第一題，所以我們就用數學來做吧。
數學中有個方法叫「數學歸納法」，我們這裡就可以巧妙用到。
- 當 n = 1 時，青蛙有 1 種跳法；
- 當 n = 2 時，青蛙可以選擇一次跳 1 級，跳兩次；也可以選擇一次跳 2 級；青蛙有 2 種跳法；
- 當 n = 3 時，青蛙可以選擇 1-1-1，1-2，2-1，青蛙有 3 種跳法；
- 當 n = 4 時，青蛙可以選擇 1-1-1-1，1-1-2，1-2-1，2-1-1，2-2，青蛙有 5 種跳法；
- 似乎能得到 f(3) = f(2) + f(1)，f(4) = f(3) + f(2)，這是 f(n) = f(n-1) + f(n-2) 的節奏？我們得用 n = 5 驗證一下。
- 當 n = 5 時，青蛙可以選擇 1-1-1-1-1，1-1-1-2，1-1-2-1，1-2-1-1，2-1-1-1，1-2-2，2-1-2，2-2-1，青蛙有 8 種跳法，f(5) = f(4) + f(3) 成立。
這是最笨的方法了，得出了這確實就是一個典型的斐波那契數列，唯一不一樣的地方就是 n =2 的時候並沒有 f(2) = f(0) + f(1)。
稍微有點思維能力的可能更簡單。
- n = 1 ，青蛙有 1 種跳法；
- n = 2 ，青蛙有 2 種跳法；
- n = 3，青蛙在第 1 級可以跳 1 種，後面 2 級相當於 f(3-1) = f(2)，還有一種就是先跳 2 級，然後後面 1 級有 f(3-2) = f(1) 種跳法，可以得出 f(3) = f(2) + f(1)；
- ...
- 當取 n 時，青蛙在第一次跳 1 級，後面的相當於有 f(n-1) 種跳法；假設第一次跳 2 級，後面相當於有 f(n-2) 種跳法；故可以得出 f(n) = f(n-1) + f(n-2)；
這樣思考可能更不容易出錯吧，這就是思維的提煉過程，可見我們高考常考的「數學歸納法」是多麼地有用。
既然能分析出這是一道典型的斐波那契數列了，我想教科書都教給大家方法了，**不過一定要注意 n = 2 的時候，正常的斐波那契數列值應該是 1，而我們是 2。**大多數人肯定會寫出下面的程式碼：
public class Test09 {
private static int fn(int n) {
if (n <= 0)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
else
return fn(n - 1) + fn(n - 2);
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(fn(1));
System.out.println(fn(2));
System.out.println(fn(3));
System.out.println(fn(4));
}
}
複製程式碼我們教科書上反覆用這個問題來講解遞迴函式，但並不能說明遞迴的解法是最適合這個題目的。當我們暗自竊喜完成了這道面試題的時候，或許面試官會告訴我們，上面的這種遞迴解法存在很嚴重的效率問題，並讓我們分析其中的原因。
我們以求 fn(10) 為例，要想求得 fn(10)，需要先求得 fn(9) 和 fn(8)；同樣，要求得 fn(9)，需要先求得 fn(8) 和 fn(7)......
這存在一個很大的問題，我們一定會去重複計算很多值，我們一定得想辦法把這個計算好的值存放起來。
避免重複計算
既然我們找到了問題所在，那改進方法自然是信手拈來了。我們目前的演算法是「從大到小」計算，而我們只需要反向「從小到大」計算就可以了。我們根據 fn(1) 和 fn(2) 計算出 fn(3)，再根據 fn(2) 和 fn(3) 計算出 fn(4)......
很容易理解，這樣的演算法思路時間複雜度是 O(n)，實現程式碼如下：
public class Test09 {
private static long fn(int n) {
if (n <= 0)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
long prePre = 1, pre = 2;
long result = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
result = prePre + pre;
prePre = pre;
pre = result;
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(fn(1));
System.out.println(fn(3));
System.out.println(fn(50));
System.out.println(fn(100));
}
}
複製程式碼上面的程式碼，一定要注意做了一點小修改，我們把返回值悄悄地改成了 long ，因為我們並不能保證客戶端是否會輸入一個比較大的數字，比如：100，這樣，如果返回值為 int，一定會因為超出了最大值而顯示錯誤的，解決方案就是把值換為更大容量的 long。但有時候你會發現，long 的容量也不夠，畢竟整型和長整型，它都會有最大顯示值，在遇到這樣的情況的時候。我們最好和麵試官交流一下，是否處理這樣的情況。如果一定要處理這樣的情況，那麼可能你就得用 String 來做顯示處理了。
其實在《劍指 Offer》上還有時間複雜度為 O(logn) 的解法，但因為不夠實用，我們這裡也就不講解了，主要還是我們解題的演算法思路訓練。如果真的很感興趣的話，那就請移步《劍指 Offer》吧。反正你在公眾號後臺回覆「劍指Offer」就可以拿到 PDF 版本的。
總結
今天的面試講解就到這吧，大家一定要學會自己去獨立思考，訓練自己的思維。簡單回顧一下我們本週所學習的內容，我們下週再見！
我是南塵，只做比心的公眾號，歡迎關注我。