藍橋杯-遞增三元組(三種解法,二分, 雙指標, 字首和)

小程xy發表於2024-05-11
指標

給定三個整數陣列

A=[A1,A2,…AN],
B=[B1,B2,…BN],
C=[C1,C2,…CN],

請你統計有多少個三元組 (i,j,k)
滿足：

1≤i,j,k≤N
Ai<Bj<Ck

輸入格式

第一行包含一個整數 N。

第二行包含 N 個整數 A1,A2,…AN。

第三行包含 N 個整數 B1,B2,…BN。

第四行包含 N 個整數 C1,C2,…CN。

輸出格式

一個整數表示答案。

資料範圍

1≤N≤105,
0≤Ai,Bi,Ci≤105

輸入樣例：

3
1 1 1
2 2 2
3 3 3

輸出樣例：

27

題解:

這題有五種寫法~

  • 超時的寫法: 純暴力和mini版的暴力
  • ac的寫法: 二分或者字首和或雙指標

純暴力程式碼👇, 時間複雜度O(n^3)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N], c[N];
int as[N], cs[N];
int cnt[N];

int main()
{
    int n; cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> b[i];
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> c[i];
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            for (int k = 0; k < n; k ++)
            {
                if (a[i] < b[j] && b[j] < c[k]) res ++;
            }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

這裡我們進行一些最佳化

  • 我們只列舉b陣列, 然後看 a 中比當前b[j]小的個數cnt1 和 c中比當前b[j]大的個數cnt2, 那麼此時能跟當前b[j]組成滿足題目要求的三元組的個數就是 cnt1 * cnt2

mini版的暴力👇, 時間複雜度O(n^2)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N], c[N];
int as[N], cs[N];
int cnt[N];

int main()
{
    int n; cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> b[i];
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> c[i];
    
    int res = 0;
    for (int j = 0; j < n; j ++)
    {
        int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++) if (a[i] < b[j]) cnt1 ++;
        for (int k = 0; k < n; k ++) if (c[k] > b[j]) cnt2 ++;
        res += cnt1 * cnt2;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

ac寫法 -> 二分版本 時間複雜度O(nlogn)
ac程式碼👇

  • 我們可以用二分最佳化mini版暴力中查詢個數這個步驟
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long  // int 會爆掉
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N], c[N];
int as[N], cs[N];
int cnt[N];

signed main()
{
    int n; cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> b[i];
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> c[i];
    
    sort(a, a + n); sort(c, c + n);

    int res = 0;
    for (int j = 0; j < n; j ++)
    {
        int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (a[mid] < b[j]) l = mid;  // 找到的是a小於b[j]的最後一個數的下標 (因為找到的是下標, 所有後面乘的時候 要+1)
            else r = mid - 1;
        }
        if (a[l] >= b[j]) cnt1 = -1;  // 不滿足條件的 後面+1的時候剛好0
        else cnt1 = l;
        
        l = 0, r = n - 1;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (c[mid] > b[j]) r = mid;  // 找到的是c大於b[j]的第一個數的下標, 所以c中大於 b[j]的個數就是 (n - 下標)
            else l = mid + 1;
        }
        if (c[l] <= b[j]) cnt2 = 0;  // 不滿足條件的 等於0
        else cnt2 = n - l;
        res += (cnt1 + 1) * cnt2;  // a c有任意一個不存在滿足條件的都不能算在答案中
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

ac寫法 -> 字首和版本 時間複雜度O(n)
ac程式碼👇

  • 程式碼中的每個a,b,c之所以都 加1是因為 它們的最小值包含0, 求字首和下標0要空出來
  • as[t] 表示的是陣列a中的元素小於等於t的個數的總和
  • cs[t] 表示的是陣列c中的元素小於等於t的個數的總和
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N], c[N];
int as[N], cs[N];
int cnt[N];

signed main()
{
    int n; cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> a[i]; a[i] ++;
        as[a[i]] ++;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> b[i], b[i] ++;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
    {
        cin >> c[i]; c[i] ++;
        cs[c[i]] ++;
    }
    
    for (int i = 1; i <= N; i ++) as[i] += as[i - 1];  // 求字首和
    for (int i = 1; i <= N; i ++) cs[i] += cs[i - 1];
    
    int res = 0;
    for (int j = 1; j <= n; j ++)
        res += as[b[j] - 1] * (cs[N - 1] - cs[b[j]]);  // a 要小於b[j]所以是 as[b[j] - 1]; cs[b[j]]表示c中小於等於b[j]的元素個數, c一共有n個, 大於b[j]的就有 n - cs[b[j]].
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}

ac寫法 ->雙指標版本 時間複雜度O(n)

  • 兩個while迴圈在在整個程式碼執行過程中最多執行n次, 整個程式碼的時間複雜度是 O(n)

ac程式碼👇

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N], c[N];
int as[N], cs[N];
int cnt[N];

signed main()
{
    int n; cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> b[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> c[i];
    
    sort(a + 1, a + n + 1); sort(b + 1, b + n + 1), sort(c + 1, c + n + 1);

    int res = 0, ai = 1, ci = 1;
    for (int j = 1; j <= n; j ++)
    {
        while (ai <= n && a[ai] < b[j]) ai ++;  
        while (ci <= n && c[ci] <= b[j]) ci ++;
        res += (ai - 1) * (n - ci + 1);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

最終提交執行時間對比, 字首和的是最快的
覺得寫的不錯的話, 點個贊吧~

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