(Day9)演算法復健運動for藍橋杯-雙指標

wlqtc發表於2024-06-25
演算法指標

(Day9)演算法復健運動for藍橋杯-雙指標

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尺取法（又稱為：雙指標、two pointers）是演算法競賽中一個常用的最佳化技巧，用來解決序列的區間問題，操作簡單、容易程式設計。
如果區間是單調的，也常常用二分法來求解，所以很多問題用尺取法和二分法都行。
另外，尺取法的的操作過程和分治演算法的步驟很相似，有時候也用在分治中。
要點：
（1）一般序列都是有序的，無序的可以先排序。
（2）問題和序列的區間有關，且需要操作2個變數，可以用兩個下標（指標）i、j掃描區間。
兩個方向：
（a）反向掃描。i、j方向相反，i從頭到尾，j從尾到頭，在中間相會。
（b）同向掃描。i、j方向相同，都從頭到尾，可以讓j跑在i前面。
  在leetcode的一篇文章中 常用的雙指標技巧 https://leetcode-cn.com/circle/article/GMopsy/，把同向掃描的i、j指標稱為“快慢指標”，把反向掃描的i、j指標稱為“左右指標”，更加形象。快慢指標在序列上產生了一個大小可變的“滑動視窗”，有靈活的應用，例如3.1的“尋找區間和”問題。

反向掃描

例題1：找一個序列其中兩個數加起來為m。（序列是有序的）

模板程式碼：

void find_sum(int a[], int n, int m)
{
    sort(a, a + n - 1); //先排序，複雜度O(nlogn) 
    int i = 0, j = n - 1; //i指向頭，j指向尾 
    while (i < j)//複雜度O(n)
    { 
        int sum = a[i] + a[j]; 
        if (sum > m) j--; 
        if (sum < m) i++;
        if (sum == m)
        { 
            cout << a[i] << " " << a[j] << endl; //列印一種情況 
            i++; //可能有多個答案，繼續 
        } 
    } 
}

在這個題目中，尺取法不僅效率高，而且不需要額外的空間。
把題目的條件改變一下，可以變化為類似的問題，例如：判斷一個數是否為兩個數的平方和
判斷迴文串：
這個自己想，一個從第一個開始跑，一個從最後一個開始跑

同向掃描

這是用尺取法產生“滑動視窗”的典型例子。
∎問題描述
  給定一個長度為n的陣列a[]和一個數s，在這個陣列中找一個區間，使得這個區間之和等於s。輸出區間的起點和終點位置。
  樣例輸入：
  15
  6 1 2 3 4 6 4 2 8 9 10 11 12 13 14
  6
  樣例輸出：
  0 0
  1 3
  5 5
  6 7
  說明：樣例輸入的第1行是n=15，第2行是陣列a[]，第3行是區間和s=6。樣例輸出，共有4個情況。
∎題解
  指標i和j，i<=j，都從頭向尾掃描，判斷區間[i,j]的和是否等於s。
  如何尋找區間和等於s的區間？如果簡單地對i和j做二重迴圈，複雜度是O(n2)。用尺取法，複雜度O(n)，操作步驟是：
  （1）初始值i=0、j=0，即開始都指向第一個元素a[0]。定義sum是區間[i, j]的和，初始值sum = a[0]。
  （2）如果sum等於s，輸出一個解。繼續，把sum減掉元素a[i]，並把i往後移動一位。
  （3）如果sum大於s，讓sum減掉元素a[i]，並把i往後移動一位。
  （4）如果sum小於s，把j往後挪一位，並把sum的值加上這個新元素。
  在上面的步驟中，有2個關鍵技巧：
  （1）滑動視窗的實現。視窗就是區間[i,j]，隨著i和j從頭到尾移動，視窗就“滑動”掃描了整個序列，檢索了所有的資料。i和j並不是同步增加的，視窗像一隻蚯蚓伸縮前進，它的長度是變化的，這個變化，正對應了對區間和的計算。
  （2）sum的使用。如何計算區間和？暴力的方法是從a[i]到a[j]累加，但是，這個累加的複雜度是O(n)的，會超時。如果利用sum，每次移動i或j的時候，只需要把sum加或減一次，就得到了區間和，複雜度是O(1)。這是“字首和”遞推思想的應用。
  下面是程式碼。

int i = 0, j = 0;
int sum = a[0];
while(j < n)
{   //下面程式碼中保證 i<=j
    if(sum >= s)
    {
        if(sum == s) 
        printf("%d %d\n", i, j);
        sum -= a[i];
        i++;
        if(i>j) 
        {
            sum = a[i];
            j++;
        }  //防止i超過j
    }
    if(sum < s)
    {
        j++;
        sum += a[j];
    }
}

“滑動視窗”的例子還有：
  （1）給定一個序列，以及一個整數M；在序列中找M個連續遞增的元素，使它們的區間和最大。
  （2）給定一個序列，以及一個整數K；求一個最短的連續子序列，其中包含至少K個不同的元素。
  在“4 典型題目”中有相似的題目。
陣列去重
很簡單，自己想

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