P4301 [CQOI2013] 新Nim遊戲 線性基

Showball發表於2024-05-09
遊戲

P4301 [CQOI2013] 新Nim遊戲 線性基

題目連結

題意：

兩個人進行遊戲，有 \(n\) 堆火柴，每堆有若干根，在第一個回合中，雙方可以直接拿走若干個整堆的火柴，可以一堆不拿，但不可以全部拿走。接下來的回合進行 \(Nim\) 遊戲。 現在你是先手，第一回合如何拿才能保證獲勝，並且讓第一回合拿的數量儘量少。

思路：

我們知道 \(Nim\) 遊戲火柴數異或和為 \(0\) 則先手必敗。所以我們想要獲勝，必須保證後手無論怎麼操作無法使剩餘火柴數異或和為 \(0\) 即可。考慮線性基，如果這個數可以被已經插入的數表示出來，那麼我們就必須第一回合把這堆取走，反之，則直接插入線性基即可。為了使得第一回合拿的火柴總數儘量小，我們從大到小進行列舉。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ff first
#define ss second
#define pb push_back
#define all(u) u.begin(), u.end()
#define endl '\n'
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;

typedef pair<int, int> PII;
typedef long long LL;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5 + 10, M = 105;
const int mod = 1e9 + 7;
const int cases = 0;

int p[M];
void insert(int x){
    for(int i=63;i>=0;i--){
        if(x>>i&1){
            if(!p[i]){
                p[i]=x;
                return;
            }
            x^=p[i];
        }
    }
}

bool find(int x){
    for(int i=63;i>=0;i--){
        if(x>>i&1){
            if(!p[i]) return false;
            x^=p[i];
        }
    }
    return true;
}
void Showball(){
   int k;
   cin>>k;
   vector<int> a(k);
   for(int i=0;i<k;i++){
     cin>>a[i];
   }
   sort(all(a));
   LL res=0;
   for(int i=k-1;i>=0;i--){
     if(find(a[i])) res+=a[i];
     else insert(a[i]);
   }
   cout<<res<<endl;   
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
    int T=1;
    if(cases) cin>>T;
    while(T--)
    Showball();
    return 0;
}

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