線性基求交（NFLSOJ #396）

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題解

首先顯然是容斥，根據二項式反演（或者做題經驗），可以算出容斥係數。接下來就是要對線性基求交，即對於兩個線性空間$V_1,V_2$，求出其交集 $V_1 \cap V_2$。
於是接下來證明幾個引理：

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引理1： 若 $V_1,V_2$ 都是線性空間，則 $V_1 \cap V_2$ 也是線性空間。
考慮證明 $V_1 \cap V_2$ 的加法封閉性。令 $v_1,v_2 \in V_1 \cap V_2$，那麼有 $v_1+v_2 \in V_1,v_1+v_2 \in V_2$，因此顯然交集是線性空間。

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引理2： 若 $V_1,V_2$ 是線性空間，且 $B_1,B_2$ 分別是他們的基，則令 $W=B_2 \cap V_1$，若 $B_1 \cup (B_2 \setminus W)$ 線性無關，則 $W$ 是 $V_1 \cap V_2$ 的基。
考慮任意的 $v \in V_1 \cap V_2$，那麼 $v$ 可以被 $B_1,B_2$ 線性表示。考慮證明 $v$ 可以被 $W$ 線性表示。不妨令 $v$ 可以被 $S$ 和 $T$ 共同線性表示，其中 $S \in W$，$T \in B \setminus W$，顯然，由於 $S$ 可以被 $B_1$ 線性表示，如果 $T$ 不為空，則 $T$ 與 $B_1$ 顯然線性相關，與題目不符。因此 $v$ 可以直接由 $W$ 表示出。

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但是顯然，$B_1 \cup (B_2 \setminus W)$ 有可能線性相關。於是其實我們只要換一組基，即把 $B_2$ 換一下即可。

考慮 $b_i$ 表示 $B_2$ 中前 $i$ 個向量組成的基，令我們新構造的基為 $\gamma$，第 $i$ 個向量為 $\gamma_i$，則若 $B_2$ 中第 $i$ 個向量能夠被 $b_{i-1} \cup B_1$ 表示出，不妨令它能夠拆分為 $S+T$，其中 $S \subseteq b_{i-1},T \subseteq B_1$，我們令 $\gamma_i=S$；否則的話 $\gamma_i$ 就是 $B_2$ 中的第 $i$ 個向量。

顯然，這樣構造出的基滿足 $B_1 \cup (\gamma \setminus W)$ 線性無關，因此問題得以在 $O(d^3)$ 的時間內解決。其中 $d$ 為向量維數。如果異或壓位的話，複雜度就是 $O(\frac{d^3}{32})$了。