異或線性基小記

spdarkle發表於2024-11-19

其實是 $\mathbb{F}_{2}^n$ 空間的一個線性無關向量組。

前置知識

向量

定義 $n$ 維向量 $v=(v_1,v_2,\dots v_n)$ 為一個 $n$ 元有序陣列，記作 $v\in \mathbb{R}^n$，也即 $n$ 維實數空間的一個向量。

定義如下運算：

$c\in \mathbb{R},v\in \mathbb{R}^n,cv=(cv_1,cv_2\dots cv_n)$，也就是每一維相乘，稱為數乘。
$v_1,v_2\in\mathbb{R}^n,v_1+v_2=(v_{1,1}+v_{2,1},v_{1,2}+v_{2,2}\dots v_{1,n}+v_{2,n})$

線性組合與張成空間

定義向量集 $V=\lbrace v_1,v_2,\dots,v_n\rbrace$，若存在 $c_1,c_2\dots c_n\in \mathbb{R}$，滿足向量 $x=\sum c_iv_i$，則稱 $x$ 是 $V$ 為 $c_1,c_2\dots c_n$ 為權的線性組合，所有這樣的 $x$ 組成的集合稱為 $V$ 的張成空間，記作 $$\operatorname{span}(V)$$

線性相關

對於向量集 $V=\lbrace v_1,v_2,\dots,v_n\rbrace$，若 $\exists j,v_j$ 可以表達為 $v_1,v_2\dots v_{j-1}$ 的線性組合（注意取到 $j-1$ 即可）

基

定義：若向量集 $B$ 線性無關，則稱 $B=\operatorname{span}(B)$ 的一組基。

$B$ 的任意真子集不是 $\operatorname{span}(B)$ 的基
對於任意 $v\in \operatorname{span}(B)$，存在唯一的 $c_1,c_2\dots c_n$，滿足 $v$ 是 $B$ 以 $c_1,c_2\dots c_n$ 為權的線性組合
對於任意線性有關集 $V$，存在其真子集 $B$ 滿足 $\operatorname{span}(B)=\operatorname{span}(V)$

一個線性空間可能有多組基。

異或線性基

其實是 $\mathbb{F}_2^n$ 空間的一個 $k$ 維子空間的基（指數域是 $2$ 的 $n$ 維空間，算術意義上就是 $[0,2^n-1]$ 的整數）

本質：

異或是 $\bmod 2$ 意義下的加法

將一個 $[0,2^n-1]$ 的整數的每一二進位制位看作取值為 $0/1$ 的向量 $v_i$，那麼整數就對應上了一個向量。

類似地，我們定義張成空間：

定義序列 $a$ 的張成空間 $\operatorname{span}(a)$ 為從 $a$ 中挑選若干數字可以異或得到的數字之和，換句話說就是 $a$ 的所有子序列（可以空）元素異或和組成的集合

線性基的構造方法

構造線性基，我們考慮用增量法來構造線性基。假如現在要插入一個向量，從左向右不斷消去1，直到出現了第一個無法消去的1，說明這個向量無法用現在的幾組基底表示出來，所以將其插入線性基。

程式碼實現

ll d[65];
void ins(ll x){
    for(int i=60;i>=0;i--)
    if((x>>i)&1){
        if(d[i])x^=d[i];
        else{
            d[i]=x;break;
        }
    }
}

性質：

序列 $a$ 的線性基為 $\operatorname{span}(a)$ 的一組基。
線性基是線性無關向量組
線性基裡有值的元素個數所有張成空間是 $\operatorname{span}(a)$ 的向量組裡最少的。
設 $B$ 為線性基，則 $|\operatorname{span(a)}|=2^{|B|}$

標準基，也稱上三角基。

一個張成空間很可能不止一組基，而標準基尋求一種標準的表示方法。

我們將一般的線性基執行如下操作：

for(int i=60;~i;--i)if(d[i])for(int j=i-1;~j;--j)if((d[i]>>j)&1)d[i]^=d[j];

容易發現操作後的線性基同樣也是原張成空間的基，且滿足將該向量組寫為 $01$ 矩陣後，每一行的最高位 $1$ 滿足該列僅有這個位置是 $1$。

類似於階梯型矩陣和簡化階梯型矩陣。

這相當有用。

應用

第 $k$ 小異或和

$k$ 從零開始。

將線性基化為標準基，設其按大小排序後是 $d_0,d_1,\dots,d_m$，則該異或和為將 $k$ 二進位制分解後為 $1$ 的位對應的 $d$ 異或後的值。

讀者自證不難

特別的，最大異或和就是全部異或起來，而 $\min_{x\in \operatorname{span}(B)}x\oplus v$ 就是將 $v$ 嘗試插入線性基後剩下來的值。

線性基合併

直接暴力把一個線性基插入另一個線性基即可。

線性基求交

定義線性空間 $V_i$ 的基底為 $B_i$，現在我們希望求出 $V_1\cap V_2$ 的基底 $W$。

引理：令 $T=V_1\cap B_2$，若 $B_1\cup(B_2/T)$ 線性無關，則 $T$ 是所求的 $W$ 之一。

證明：考慮反面證明，若 $T$ 非法則線性有關，設 $v\in V_1\cap V_2$ 且不能被 $T$ 表出。

那麼有 $v=x\oplus y,x\in T,y\in B_2/T$，且 $y>0$。

因為 $x\in T\implies x\in V_1$，同時 $v\in V_1$，所以 $x\oplus v=y\in V_1$

$y$ 就可以被 $B_1$ 表出

則 $B_1\cup (B_2/T)$ 線性相關。

考慮如何求出 $W$，可以考慮列舉 $x:1\to |B_2|$：

$b_x\in B_2$
1. $b_x$ 可以被 $B_1\cup \lbrace b_1,b_2\dots b_{x-1}\rbrace$ 表出
  
  設 $b_x=p\oplus q,p\in V_1,q$ 被 $\lbrace b_1,b_2\dots b_{x-1}\rbrace$ 表出，則將 $q$ 加入 $W$。
2. 否則不做任何操作。

證明這樣可以求出 $W$，只需要證明 $V_{B_2-W}\cap V_1=\lbrace 0\rbrace$ 即可。

設 $x\in V_{B_2/W}\cap V_1,x>0$

則有 $x$ 可以被 $B_1$ 以及 $B_2/W$ 表出，那麼取出 $B_2/W$ 裡下標最大的 $b_k$，則有 $b_k$ 可以被 $B_2/W/\lbrace b_k\rbrace\cup B_1$ 表出，那麼與假設不符。

證畢。

struct node{
    int d[32];
    node(){
        memset(d,0,sizeof d);
    }
    void ins(int x){
        for(int i=31;i>=0;--i)if((x>>i)&1){
            if(d[i])x^=d[i];
            else {d[i]=x;return ;}
        }
    }
    bool count(int x){
        for(int i=31;i>=0;--i)if((x>>i)&1){
            if(!d[i])return false;
            x^=d[i];
        }
        return true;
    }
    node operator&(const node b)const {
        node tmpa;memcpy(tmpa.d,d,sizeof d);
        node uda=tmpa,res;
        for(int i=0;i<32;++i)if(b.d[i]){
            int x=b.d[i],sur=0,tag=1;
            for(int j=i;j>=0;--j)if((x>>j)&1){
                if(tmpa.d[j])x^=tmpa.d[j],sur^=uda.d[j];
                else {tmpa.d[j]=x,uda.d[j]=sur,tag=0;break;}//uda.d[i] 指該元素使用的 B_1 中元素 xor 和
            }
            if(tag)res.ins(sur);
        }
        return res;
    }
};

帶刪除線性基

~~肯定是離線的啦~~

考慮求出每個元素的刪除時間 $t_i$，按加入時間順序將元素加入線性基，插入 $(v,t)$ 時，同樣依次掃描各個二進位制位，執行如下操作：

若當前線性基這一位的刪除時間早於 $t$，將 $v$ 與這一位互換（注意 $t$ 也需要互換），並繼續向下插入

否則就異或後正常插入

查詢時就將時間早於當前時間的位不考慮即可。

當然可以自然擴充套件到字首線性基。

考慮對於原序列的每一段字首，維護一個字首線性基。

對於每個二進位制位，維護可以貢獻它的基底中下標最大的一個。

插入的時候如果存在基底，考慮將插入的數和基底中下標較小的一個繼續向下插入，另一個作為當前位的基底。

查詢只需要第 $r$ 個字首線性基中下標大於等於 $l$ 的基底。

線性基與無向圖路徑

核心：無向圖可以走回頭路，那麼一個環的異或值可以不耗任何代價得到

對於一個無向連通圖，有邊權，構建 DFS 樹後，將所有環的權異或組成一個線性基，具有以下性質

這個線性基只需要所有返祖邊所對應簡單環異或和即可構建（其他環可以表達為這些環的複合）
點 $u→v$ 的所有可能的路徑的異或值均可以用這兩者的簡單路徑的異或值與線性基中的值表出，這是因為走到一個環又走回去是可以抵消的，這時候產生貢獻的只有環。
對於 $u→v$ 所有路徑的異或值，用 $B$ 表示所有返祖邊構成環的權值組成的線性基，則有將 $d_u\oplus d_v$ 加入 $B$ 後，$B$ 的張成空間內的所有元素在原圖都能夠找到一條 $u\to v$ 的路徑其異或值是這個（特判 $0$）

異或線性基小記

前置知識

向量

線性組合與張成空間

線性相關

基

異或線性基

應用

第 \(k\) 小異或和

線性基合併

線性基求交

帶刪除線性基

線性基與無向圖路徑

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