之前寫過一篇有關TRE最佳化模型詳解的博文：
這篇文章裡面的附錄給出了非線性模型化線性的方式，具體內容如下：
- 首先是篇文章的變數和原模型（具體見我上面那篇筆記）：
- 其次這篇文章附錄給出的非線性化線性的方法：
我覺得很經典，所以這幾天我廢了九牛二虎之力推導了這個附錄的公式，並復現了它的化線性的過程•́‸ก
一、目標函式
- 目標函式中的非線性項為：
- 引入決策變數：
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此時應加入下面約束條件，即式(A.13)~式(A.14) 和式(A.28)~式(A.29)：
\[\sum_{i\in{I_{bzi}^t}}Y^t_{bzi}=1 \]\[\sum_{i\in{I_{ezi}^t}}Y^t_{ezi}=1 \]\[Y^t_{bzi},Y^t_{ezi}\in{\{0,1\}} \] -
引入價格集合（已知量），其中\(I^t_{bz}、I^t_{ez}\)為對應渠道的可選擇價格數量，\(i={1,2,...,I^t_{bz}}或i={1,2,...,I^t_{ez}}\)：
-
那麼有：\(P^t_{bz}=\sum_{i\in{I^t_{bz}}}P^t_{bzi}Y^t_{bzi}\)、\(P^t_{ez}=\sum_{i\in{I^t_{ez}}}P^t_{ezi}Y^t_{ezi}\)
-
此時，目標函式變為：
-
目標函式中仍存在非線性項\(Y^t_{bzi}\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})\)和\(Y^t_{ezi}\sum_{w\in{Z}}(O^t_{bwz}+O^t_{ewz})\)
所以需要再引入下面決策變數，也就是式(A.6)~式(A.7)：
\[V^t_{bzi}=Y^t_{bzi}\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz}) \]\[V^t_{ezi}=Y^t_{ezi}\sum_{w\in{Z}}(O^t_{bwz}+O^t_{ewz}) \]此時目標函式變為下式，也就是式(A.8) 的由來：
設\(\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})\)的上限為\(a\)，\(\sum_{w\in{Z}}(O^t_{bwz}+O^t_{ewz})\)的上限為\(b\)，要徹底轉換目標函式變為線性，需要增加新的約束如下，包含了式(A.15)-式(A.18)、式(A.33)-式(A.34)：
二、約束條件
-
非線性項為\(D^t_{bz}(P^t_{z})\)和\(D^t_{ez}(P^t_{z})\)
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經過上面的轉換，有：
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\(e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}P^t_{bz}}=e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}\sum_{i\in{I^t_{bz}}}(P^t_{bzi}Y^t_{bzi})}\)其中，\(Y^t_{bzi}\)是一個0-1變數，所以又可以寫成：\(e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}P^t_{bz}}=\sum_{i\in{I^t_{bz}}}Y^t_{bzi}e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}P^t_{bzi}}\).
-
同理，\(e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}P^t_{ez}}=\sum_{i\in{I^t_{ez}}}Y^t_{ezi}e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}P^t_{ezi}}\)
-
-
令
\[r^t_{bzi}=e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}P^t_{bzi}} \]\[r^t_{ezi}=e^{\beta_{0z}+\beta_{1z}P^t_{ezi}} \]即式(A.1)~式(A.2)，那麼有：
\[D^t_{bz}(P^t_z)=n^t_z×\frac{\sum_{i\in{I^t_{bz}}}Y^t_{bzi}r^t_{bzi}}{\sum_{i\in{I^t_{bz}}}Y^t_{bzi}r^t_{bzi}+\sum_{i\in{I^t_{ez}}}Y^t_{ezi}r^t_{ezi}+1} \]\[D^t_{ez}(P^t_z)=n^t_z×\frac{\sum_{i\in{I^t_{ez}}}Y^t_{ezi}r^t_{ezi}}{\sum_{i\in{I^t_{bz}}}Y^t_{bzi}r^t_{bzi}+\sum_{i\in{I^t_{ez}}}Y^t_{ezi}r^t_{ezi}+1} \] -
為了將\(D^t_{bz}(P^t_{z})\)和\(D^t_{ez}(P^t_{z})\)化為線性，令：
\[R^t_z=\frac{1}{\sum_{i\in{I^t_{bz}}}Y^t_{bzi}r^t_{bzi}+\sum_{i\in{I^t_{ez}}}Y^t_{ezi}r^t_{ezi}+1} \]即式(A.3)。那麼\(D^t_{bz}(P^t_{z})=n^t_zR^t_z\sum_{i\in{I^t_{bz}}}Y^t_{bzi}r^t_{bzi}\)，\(D^t_{ez}(P^t_{z})=n^t_zR^t_z\sum_{i\in{I^t_{ez}}}Y^t_{ezi}r^t_{ezi}\)，需要明確的是：\(\sum_{i\in{I^t_{bz}}}Y^t_{bzi}r^t_{bzi}+\sum_{i\in{I^t_{ez}}}Y^t_{ezi}r^t_{ezi}\geq{0}\)，故\(R^t_z\leq{1}\)
-
此時仍存在非線性項\(\sum_{i\in{I^t_{bz}}}R^t_zY^t_{bzi}r^t_{bzi}\)和\(\sum_{i\in{I^t_{ez}}}R^t_zY^t_{ezi}r^t_{ezi}\)
令：
\[U^t_{bzi}=R^t_zY^t_{bzi} \]\[U^t_{ezi}=R^t_zY^t_{ezi} \]即式(A.4)-式(A.5)。此時需要新增的約束條件如下，包含了式(A.21)-式(A.27)、式(A.32)-式(A.34)：
\[U^t_{bzi},U^t_{ezi}\geq{0} \]\[R^t_z\geq{0} \]\[U^t_{bzi}\leq{Y^t_{bzi}} \]\[U^t_{ezi}\leq{Y^t_{ezi}} \]\[U^t_{bzi}\leq{R^t_z} \]\[U^t_{ezi}\leq{R^t_z} \]\[U^t_{bzi}\leq{R^t_z}-(1-Y^t_{bzi}) \]\[U^t_{ezi}\leq{R^t_z}-(1-Y^t_{ezi}) \]\[\sum_{i\in{I^t_{bzi}}}U^t_{bzi}=R^t_z \]\[\sum_{i\in{I^t_{ezi}}}U^t_{ezi}=R^t_z \]
- 此時約束條件(6)、(7)變為：
-
那麼\(a=n^t_z\sum_{i\in{I^t_{bz}}}U^t_{bzi}r^t_{bzi}\)，\(b=n^t_z\sum_{i\in{I^t_{ez}}}U^t_{ezi}r^t_{ezi}\)。約束\(V^t_{bzi}\leq{a}Y^t_{bzi}\)和\(V^t_{ezi}\leq{b}Y^t_{ezi}\)分別變為：
\[V^t_{bzi}\leq{(n^t_z\sum_{i\in{I^t_{bz}}}U^t_{bzi}r^t_{bzi}})Y^t_{bzi}=n^t_zU^t_{bzi}\sum_{i\in{I^t_{bz}}}r^t_{bzi}Y^t_{bzi} \]\[V^t_{ezi}\leq{(n^t_z\sum_{i\in{I^t_{ez}}}U^t_{ezi}r^t_{ezi})}Y^t_{ezi}=n^t_zU^t_{ezi}\sum_{i\in{I^t_{ez}}}r^t_{ezi}Y^t_{ezi} \]-
已知\(V^t_{bzi}\geq{0}\)，當\(Y^t_{bzi}=0\)時，上面的第一條約束條件變為\(V^t_{bzi}\leq{0}\)，此時\(V^t_{bzi}\)應為0；當\(Y^t_{ezi}=1\)時，上面的約束條件變為\(V^t_{bzi}\leq{n^t_zU^t_{bzi}r^t_{bzi}}\)，此時\(V^t_{bzi}\)的取值應當為\(0\leq{V^t_{bzi}}\leq{n^t_zU^t_{bzi}r^t_{bzi}}\)。
綜上和同理，在約束\(V^t_{bzi},V^t_{ezi}\geq{0}\)下，式(A.19) 和式(A.20) 被推匯出：
\[V^t_{bzi}\leq{a}Y^t_{bzi}\quad{}→\quad{}V^t_{bzi}\leq{n^t_zU^t_{bzi}r^t_{bzi}} \]\[V^t_{ezi}\leq{b}Y^t_{ezi}\quad{}→\quad{}V^t_{bzi}\leq{n^t_zU^t_{bzi}r^t_{bzi}} \]-
對於約束條件\(V^t_{bzi}\geq[{\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})}]-a(1-Y^t_{bzi})\)和\(V^t_{ezi}\geq[{\sum_{w\in{Z}}(O^t_{bwz}+O^t_{ewz})}]-b(1-Y^t_{ezi})\)，它們分別變為：
\[V^t_{bzi}\geq[{\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})}]-(n^t_z\sum_{i\in{I^t_{bz}}}U^t_{bzi}r^t_{bzi})(1-Y^t_{bzi}) \]\[V^t_{ezi}\geq[{\sum_{w\in{Z}}(O^t_{bwz}+O^t_{ewz})}]-(n^t_z\sum_{i\in{I^t_{ez}}}U^t_{ezi}r^t_{ezi})(1-Y^t_{ezi}) \]當\(Y^t_{bzi}=0\)時，上面第一條約束條件變為\(\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})\leq{n^t_z\sum_{i\in{I^t_{bz}}}U^t_{bzi}r^t_{bzi}}\)這與文中式（6）相同；當\(Y^t_{bzi}=1\)時，它則變為\(V^t_{bzi}=\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})\)，而這又被約束條件\(\sum_{i\in{I^t_{bzi}}}V^t_{bzi}={\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})}\)包含。
綜上及同理，約束條件\(V^t_{bzi}\geq[{\sum_{w\in{Z}}(S^t_{bwz}+S^t_{ewz})}]-a(1-Y^t_{bzi})\)和\(V^t_{ezi}\geq[{\sum_{w\in{Z}}(O^t_{bwz}+O^t_{ewz})}]-b(1-Y^t_{ezi})\)均屬於重複約束，可被消除。
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由此，所有公式已全部被推出，但還多了兩條約束：
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對於約束條件\(U^t_{bzi}\leq{R^t_z}-(1-Y^t_{bzi})\)有：
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\(Y^t_{bzi}=0\)時，\(R^t_z\geq{0}\)，該約束已存在；\(Y^t_z=1\)時，\(U^t_{bzi}=R^t_{z}\)，該約束已被\(\sum_{i\in{I^t_{bzi}}}U^t_{bzi}=R^t_z\)所包含。
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綜上及同理，約束條件\(U^t_{bzi}\leq{R^t_z}-(1-Y^t_{bzi})\)和\(U^t_{ezi}\leq{R^t_z}-(1-Y^t_{ezi})\)屬於重複約束，均可被刪除。
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以上就是這篇論文公式全部的推導，上面是所使用的非線性化線性的方法簡例如下。
三、簡例
(1) 帶有0-1變數的非線性規劃問題
其中決策變數\(x_1\in{\{0,1\}}\),\(0\leq{x_2}\leq{a}\)
那麼我們可以用下面的方法化為線性規劃：
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首先設一個新的決策變數\(y=x_1x_2\)，並將問題轉化為：
\[y\leq{ax_1} \]\[y\leq{x_2} \]\[y\geq{x_2-a(1-x_1)} \]\[y\geq{0} \] -
由此，問題變為了線性問題
(2) 帶分母變數的非線性規劃問題
\(s.t.\)
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令\(z=\frac{1}{4x+5y}\)，此時目標函式變為：\((x+2y)z+3z\)，但仍含有非線性項，此時我們又令：\(xz=u,yz=v\)，那麼可以得到：
\[min\quad{u+2v+3z} \]\(s.t.\)
\[6u+7v\leq{8z} \]\[9u+10v\geq{0} \]\[u,v,z\geq{0} \] -
解上面的線性規劃問題，可得到\(u,v,z\)的精確解，之後可代入式子解方程，得到\(x,y\)的精確解。