本文介紹異或運算的含義和應用。
一、含義
XOR 是 exclusive OR 的縮寫。英語的 exclusive 意思是"專有的，獨有的"，可以理解為 XOR 是更單純的 OR 運算。
我們知道，OR 運算的運運算元有兩種情況，計算結果為true。
（1）一個為 true，另一個為 false;
（2）兩個都為 true。
上面兩種情況，有時候需要明確區分，所以引入了 XOR。
XOR 排除了第二種情況，只有第一種情況（一個運運算元為true，另一個為false）才會返回 true，所以可以看成是更單純的 OR 運算。也就是說， XOR 主要用來判斷兩個值是否不同。
XOR 一般使用插入符號（caret）^表示。如果約定0 為 false，1 為 true，那麼 XOR 的運算真值表如下。
0 ^ 0 = 0 0 ^ 1 = 1 1 ^ 0 = 1 1 ^ 1 = 0
二、運算定律
XOR 運算有以下的運算定律。由於非常簡單，這裡就省略證明了。
（1）一個值與自身的運算，總是為 false。
x ^ x = 0
（2）一個值與 0 的運算，總是等於其本身。
x ^ 0 = x
（3）可交換性
x ^ y = y ^ x
（4）結合性
x ^ (y ^ z) = (x ^ y) ^ z
三、應用
根據上面的這些運算定律，可以得到異或運算的很多重要應用。
3.1 簡化計算
多個值的異或運算，可以根據運算定律進行簡化。
a ^ b ^ c ^ a ^ b = a ^ a ^ b ^ b ^ c = 0 ^ 0 ^ c = c
3.2 交換值
兩個變數連續進行三次異或運算，可以互相交換值。
假設兩個變數是x和y，各自的值是a和b。下面就是x和y進行三次異或運算，註釋部分是每次運算後兩個變數的值。
x = x ^ y // (a ^ b, b) y = x ^ y // (a ^ b, a ^ b ^ b) => (a ^ b, a) x = x ^ y // (a ^ b ^ a, a) => (b, a)
這是兩個變數交換值的最快方法，不需要任何額外的空間。
3.3 加密
異或運算可以用於加密。
第一步，明文（text）與金鑰（key）進行異或運算，可以得到密文（cipherText）。
text ^ key = cipherText
第二步，密文與金鑰再次進行異或運算，就可以還原成明文。
cipherText ^ key = text
原理很簡單，如果明文是 x，金鑰是 y，那麼 x 連續與 y 進行兩次異或運算，得到自身。
(x ^ y) ^ y = x ^ (y ^ y) = x ^ 0 = x
3.4 資料備份
異或運算可以用於資料備份。
檔案 x 和檔案 y 進行異或運算，產生一個備份檔案 z。
x ^ y = z
以後，無論是檔案 x 或檔案 y 損壞，只要不是兩個原始檔案同時損壞，就能根據另一個檔案和備份檔案，進行還原。
x ^ z = x ^ (x ^ y) = (x ^ x) ^ y = 0 ^ y = y
上面的例子是 y 損壞，x 和 z 進行異或運算，就能得到 y。
四、一道面試題
一些面試的演算法題，也能使用異或運算快速求解。
請看下面這道題。
最快的解答方法，就是把所有陣列成員（A[0] 一直到 A[n-2]）與 1 到 n 的整數全部放在一起，進行異或運算。
A[0] ^ A[1] ^ ... ^ A[n-2] ^ 1 ^ 2 ^ ... ^ n
上面這個式子中，每個陣列成員都會出現兩次，相同的值進行異或運算就會得到 0。只有缺少的那個數字出現一次，所以最後得到的就是這個值。
你可能想到了，加法也可以解這道題。
1 + 2 + ... + n - A[0] - A[1] - ... - A[n-2]
但是，加法的速度沒有異或運算快，而且需要額外的空間。如果數字比較大，還有溢位的可能。
下面是一道類似的題目，大家可以作為練習。
五、參考連結
- That XOR Trick
（完）