E. Not a Nim Problem

onlyblues發表於2024-08-17

E. Not a Nim Problem

Two players, Alice and Bob, are playing a game. They have $n$ piles of stones, with the $i$-th pile initially containing $a_i$ stones.

On their turn, a player can choose any pile of stones and take any positive number of stones from it, with one condition:

  • let the current number of stones in the pile be $x$. It is not allowed to take from the pile a number of stones $y$ such that the greatest common divisor of $x$ and $y$ is not equal to $1$.

The player who cannot make a move loses. Both players play optimally (that is, if a player has a strategy that allows them to win, no matter how the opponent responds, they will win). Alice goes first.

Determine who will win.

Input

The first line contains a single integer $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — the number of test cases.

Each test case consists of two lines:

  • the first line contains a single integer $n$ ($1 \le n \le 3 \cdot 10^5$);
  • the second line contains $n$ integers $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le 10^7$).

Additional constraint on the input: the sum of $n$ across all test cases does not exceed $3 \cdot 10^5$.

Output

For each test case, output Alice if Alice wins, or Bob if Bob wins.

Example

Input

3
3
3 2 9
4
3 3 6 1
5
1 2 3 4 5

Output

Bob
Alice
Bob

解題思路

  借這題學一下 SG 函式。SG 函式是解決像取石子這類博弈論問題的一大利器。

  以取石子游戲為例，我們把每一堆石子可能發生的變化用 DAG 來表示，其中節點代表一個局面，邊代表可以從一個局面轉移到另一個局面。比如以本題的規則對 $3$ 堆石子 $[1,3,4]$ 進行遊戲得到的 DAG 如下：

E. Not a Nim Problem

  每個節點（局面）$u$ 的 SG 值就是其後繼節點 $v_1, \ldots v_m$ 的 SG 值的 $\mathrm{mex}$ 值，即 $\mathrm{SG}(u) = \mathrm{mex}\{ \mathrm{SG}(v_1), \ldots, \mathrm{SG}(v_m) \}$，其中定義集合 $S$ 的 $\mathrm{mex}$ 值為不屬於 $S$ 中的最小非負整數。上圖中每個節點的 SG 值如下所示：

E. Not a Nim Problem

  可以發現每一個 DAG 都只有一個起點 $S$，因此如果 $\mathrm{SG}(S) \ne 0$ 則先手必勝，否則 $\mathrm{SG}(S) = 0$ 則先手必敗。這是因為任意 SG 不為 $0$ 的節點都可以走到 SG 為 $0$ 的節點，而任意 SG 為 $0$ 的節點都走不到 SG 不為 $0$ 的節點（否則當前節點的 SG 值就大於 $0$ 了），又因為所有的終點（即出度為 $0$ 的點）的 SG 值為 $0$，對應著先手必敗，因此結論得證。

  而如果有 $n$ 個 DAG，每個 DAG 的起點分別為 $S_1, \ldots, S_n$，那麼整個遊戲先手必勝的條件是 $\mathrm{SG}(S_1) \oplus \cdots \oplus \mathrm{SG}(S_n) \ne 0$，否則 $\mathrm{SG}(S_1) \oplus \cdots \oplus \mathrm{SG}(S_n) = 0$ 則先手必敗。證明的方法與 Nim 遊戲十分相似。

  回到本題，令 $A = \max\{ a_i \}$，顯然我們需要求出 $1 \sim A$ 的 SG 值，然後根據 $\mathrm{SG}(a_1) \oplus \cdots \oplus \mathrm{SG}(a_n)$ 判斷先手必勝還是必敗，時間複雜度為 $O(A^2 \log{A})$。由於 $A$ 最大取 $10^7$，因此這種做法顯會然超時。

  我們先打表看看 SG 值是否滿足某些規律，以下是求出 $1 \sim 100$ 的 SG 值的程式和結果：

打表程式碼 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105;

int f[N];

int dfs(int u) {
    if (f[u] != -1) return f[u];
    set<int> st;
    for (int i = 1; i <= u; i++) {
        if (__gcd(i, u) == 1) st.insert(dfs(u - i));
    }
    for (int i = 0; true; i++) {
        if (!st.count(i)) return f[u] = i;
    }
}

int main() {
    memset(f, -1, sizeof(f));
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        cout << "SG(" << i << ") = " << dfs(i) << '\n';
    }
    
    return 0;
}
打表結果 
SG(1) = 1
SG(2) = 0
SG(3) = 2
SG(4) = 0
SG(5) = 3
SG(6) = 0
SG(7) = 4
SG(8) = 0
SG(9) = 2
SG(10) = 0
SG(11) = 5
SG(12) = 0
SG(13) = 6
SG(14) = 0
SG(15) = 2
SG(16) = 0
SG(17) = 7
SG(18) = 0
SG(19) = 8
SG(20) = 0
SG(21) = 2
SG(22) = 0
SG(23) = 9
SG(24) = 0
SG(25) = 3
SG(26) = 0
SG(27) = 2
SG(28) = 0
SG(29) = 10
SG(30) = 0
SG(31) = 11
SG(32) = 0
SG(33) = 2
SG(34) = 0
SG(35) = 3
SG(36) = 0
SG(37) = 12
SG(38) = 0
SG(39) = 2
SG(40) = 0
SG(41) = 13
SG(42) = 0
SG(43) = 14
SG(44) = 0
SG(45) = 2
SG(46) = 0
SG(47) = 15
SG(48) = 0
SG(49) = 4
SG(50) = 0
SG(51) = 2
SG(52) = 0
SG(53) = 16
SG(54) = 0
SG(55) = 3
SG(56) = 0
SG(57) = 2
SG(58) = 0
SG(59) = 17
SG(60) = 0
SG(61) = 18
SG(62) = 0
SG(63) = 2
SG(64) = 0
SG(65) = 3
SG(66) = 0
SG(67) = 19
SG(68) = 0
SG(69) = 2
SG(70) = 0
SG(71) = 20
SG(72) = 0
SG(73) = 21
SG(74) = 0
SG(75) = 2
SG(76) = 0
SG(77) = 4
SG(78) = 0
SG(79) = 22
SG(80) = 0
SG(81) = 2
SG(82) = 0
SG(83) = 23
SG(84) = 0
SG(85) = 3
SG(86) = 0
SG(87) = 2
SG(88) = 0
SG(89) = 24
SG(90) = 0
SG(91) = 4
SG(92) = 0
SG(93) = 2
SG(94) = 0
SG(95) = 3
SG(96) = 0
SG(97) = 25
SG(98) = 0
SG(99) = 2
SG(100) = 0

  可以發現以下規律：

  • 如果 $x$ 是偶數，那麼 $\mathrm{SG}(x) = 0$。
  • 如果 $x$ 是從 $3$ 開始的質數，那麼 $\mathrm{SG}(x) = p(x)$，其中 $p(x)$ 指 $x$ 在所有質數中的第幾個。
  • 如果 $x$ 是奇合數，那麼 $\mathrm{SG}(x) = \mathrm{SG}(d(x))$，其中 $d(x)$ 指 $x$ 的最小質因子。
  • 特別的，$\mathrm{SG}(1) = 1$，$\mathrm{SG}(2) = 0$。

  因此我們就可以用尤拉篩以 $O(A)$ 的複雜度求出 $1 \sim A$ 的 SG 值。

  AC 程式碼如下，時間複雜度為 $O(A)$：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e7 + 5;

int primes[N], cnt;
bool vis[N];
int f[N];

void get_prime(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!vis[i]) {
            primes[cnt++] = i;
            f[i] = cnt;
        }
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
            int t = primes[j] * i;
            vis[t] = true;
            if (t & 1) f[t] = f[primes[j]];
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
    f[1] = 1, f[2] = 0;
}

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    int ret = 0;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        ret ^= f[x];
    }
    cout << (ret ? "Alice" : "Bob") << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    get_prime(N - 1);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}

參考資料

  第四章 數學知識（四）：https://www.acwing.com/file_system/file/content/whole/index/content/4810/

  公平組合遊戲 - OI Wiki：https://oi-wiki.org/math/game-theory/impartial-game/

  Educational Codeforces Round 169 Editorial：https://codeforces.com/blog/entry/132790

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