上節課我們主要介紹了Random Forest演算法模型。Random Forest就是透過bagging的方式將許多不同的decision tree組合起來。除此之外，在decision tree中加入了各種隨機性和多樣性，比如不同特徵的線性組合等。RF還可以使用OOB樣本進行self-validation，而且可以透過permutation test進行feature selection。本節課將使用Adaptive Boosting的方法來研究decision tree的一些演算法和模型。
1. Adaptive Boosted Decision Tree
Random Forest的演算法流程我們上節課也詳細介紹過，就是先透過bootstrapping“複製”原樣本集D，得到新的樣本集D’；然後對每個D’進行訓練得到不同的decision tree和對應的g_t；最後再將所有的g_t透過uniform的形式組合起來，即以投票的方式得到G。這裡採用的Bagging的方式，也就是把每個g_t的預測值直接相加。現在，如果將Bagging替換成AdaBoost，處理方式有些不同。首先每輪bootstrap得到的D’中每個樣本會賦予不同的權重u^{(t)}；然後在每個decision tree中，利用這些權重訓練得到最好的g_t；最後得出每個g_t所佔的權重，線性組合得到G。這種模型稱為AdaBoost-D Tree。
但是在AdaBoost-DTree中需要注意的一點是每個樣本的權重u^{(t)}。我們知道，在Adaptive Boosting中進行了bootstrap操作，u^{(t)}表示D中每個樣本在D’中出現的次數。但是在決策樹模型中，例如C&RT演算法中並沒有引入u^{(t)}。那麼，如何在決策樹中引入這些權重u^{(t)}來得到不同的g_t而又不改變原來的決策樹演算法呢？
在Adaptive Boosting中，我們使用了weighted algorithm，形如：
E_{in}^u(h)=\frac1N\sum_{n=1}^Nu_n\cdot err(y_n,h(x_n))
每個犯錯誤的樣本點乘以相應的權重，求和再平均，最終得到了E_{in}^u(h)。如果在決策樹中使用這種方法，將當前分支下犯錯誤的點賦予權重，每層分支都這樣做，會比較複雜，不易求解。為了簡化運算，保持決策樹演算法本身的穩定性和封閉性，我們可以把決策樹演算法當成一個黑盒子，即不改變其結構，不對演算法本身進行修改，而從資料來源D’上做一些處理。按照這種思想，我們來看權重u實際上表示該樣本在bootstrap中出現的次數，反映了它出現的機率。那麼可以根據u值，對原樣本集D進行一次重新的隨機sampling，也就是帶權重的隨機抽樣。sampling之後，會得到一個新的D’，D’中每個樣本出現的機率與它權重u所佔的比例應該是差不多接近的。因此，使用帶權重的sampling操作，得到了新的樣本資料集D’，可以直接代入決策樹進行訓練，從而無需改變決策樹演算法結構。sampling可看成是bootstrap的反操作，這種對資料本身進行修改而不更改演算法結構的方法非常重要！
所以，AdaBoost-DTree結合了AdaBoost和DTree，但是做了一點小小的改變，就是使用sampling替代權重u^{(t)}，效果是相同的。
上面我們透過使用sampling，將不同的樣本集代入決策樹中，得到不同的g_t。除此之外，我們還要確定每個g_t所佔的權重\alpha_t。之前我們在AdaBoost中已經介紹過，首先算出每個g_t的錯誤率\epsilon_t，然後計算權重：
\alpha_t=ln\ \diamond_t=ln \sqrt{\frac{1-\epsilon_t}{\epsilon_t}}
如果現在有一棵完全長成的樹（fully grown tree），由所有的樣本x_n訓練得到。若每個樣本都不相同的話，一刀刀切割分支，直到所有的x_n都被完全分開。這時候，E_{in}(g_t)=0，加權的E_{in}^u(g_t)=0而且\epsilon_t也為0，從而得到權重\alpha_t=\infty。\alpha_t=\infty表示該g_t所佔的權重無限大，相當於它一個就決定了G結構，是一種autocracy，而其它的g_t對G沒有影響。
顯然\alpha_t=\infty不是我們想看到的，因為autocracy總是不好的，我們希望使用aggregation將不同的g_t結合起來，發揮集體智慧來得到最好的模型G。首先，我們來看一下什麼原因造成了\alpha_t=\infty。有兩個原因：一個是使用了所有的樣本x_n進行訓練；一個是樹的分支過多，fully grown。針對這兩個原因，我們可以對樹做一些修剪（pruned），比如只使用一部分樣本，這在sampling的操作中已經起到這類作用，因為必然有些樣本沒有被取樣到。除此之外，我們還可以限制樹的高度，讓分支不要那麼多，從而避免樹fully grown。
因此，AdaBoost-DTree使用的是pruned DTree，也就是說將這些預測效果較弱的樹結合起來，得到最好的G，避免出現autocracy。
剛才我們說了可以限制樹的高度，那索性將樹的高度限制到最低，即只有1層高的時候，有什麼特性呢？當樹高為1的時候，整棵樹只有兩個分支，切割一次即可。如果impurity是binary classification error的話，那麼此時的AdaBoost-DTree就跟AdaBoost-Stump沒什麼兩樣。也就是說AdaBoost-Stump是AdaBoost-DTree的一種特殊情況。
值得一提是，如果樹高為1時，通常較難遇到\epsilon_t=0的情況，且一般不採用sampling的操作，而是直接將權重u代入到演算法中。這是因為此時的AdaBoost-DTree就相當於是AdaBoost-Stump，而AdaBoost-Stump就是直接使用u來最佳化模型的。
2. Optimization View of AdaBoost
接下來，我們繼續將繼續探討AdaBoost演算法的一些奧妙之處。我們知道AdaBoost中的權重的迭代計算如下所示：
之前對於incorrect樣本和correct樣本，u_n^{(t+1)}的表示式不同。現在，把兩種情況結合起來，將u_n^{(t+1)}寫成一種簡化的形式：
u_n^{(t+1)}=u_n^{(t)}\cdot \diamond_t^{-y_ng_t(x_n)}=u_n^{(t)}\cdot exp(-y_n\alpha_tg_t(x_n))
其中，對於incorrect樣本，y_ng_t(x_n)<0，對於correct樣本，y_ng_t(x_n)>0。從上式可以看出，u_n^{(t+1)}由u_n^{(t)}與某個常數相乘得到。所以，最後一輪更新的u_n^{(T+1)}可以寫成u_n^{(1)}的級聯形式，我們之前令u_n^{(1)}=\frac1N，則有如下推導：
u_n^{(T+1)}=u_n^{(1)}\cdot \prod_{t=1}^Texp(-y_n\alpha_tg_t(x_n))=\frac1N\cdot exp(-y_n\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x_n))
上式中\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x_n)被稱為voting score，最終的模型G=sign(\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x_n))。可以看出，在AdaBoost中，u_n^{(T+1)}與exp(-y_n(voting\ score\ on\ x_n))成正比。
接下來我們繼續看一下voting score中蘊含了哪些內容。如下圖所示，voting score由許多g_t(x_n)乘以各自的係數\alpha_t線性組合而成。從另外一個角度來看，我們可以把g_t(x_n)看成是對x_n的特徵轉換\phi_i(x_n)，\alpha_t就是線性模型中的權重w_i。看到這裡，我們回憶起之前SVM中，w與\phi (x_n)的乘積再除以w的長度就是margin，即點到邊界的距離。另外，乘積項再與y_n相乘，表示點的位置是在正確的那一側還是錯誤的那一側。所以，回過頭來，這裡的voting score實際上可以看成是沒有正規化（沒有除以w的長度）的距離，即可以看成是該點到分類邊界距離的一種衡量。從效果上說，距離越大越好，也就是說voting score要儘可能大一些。
我們再來看，若voting score與y_n相乘，則表示一個有對錯之分的距離。也就是說，如果二者相乘是負數，則表示該點在錯誤的一邊，分類錯誤；如果二者相乘是正數，則表示該點在正確的一邊，分類正確。所以，我們演算法的目的就是讓y_n與voting score的乘積是正的，而且越大越好。那麼在剛剛推導的u_n^{(T+1)}中，得到exp(-y_n(voting\ score))越小越好，從而得到u_n^{(T+1)}越小越好。也就是說，如果voting score表現不錯，與y_n的乘積越大的話，那麼相應的u_n^{(T+1)}應該是最小的。
那麼在AdaBoost中，隨著每輪學習的進行，每個樣本的u_n^{(t)}是逐漸減小的，直到u_n^{(T+1)}最小。以上是從單個樣本點來看的。總體來看，所有樣本的u_n^{(T+1)}之和應該也是最小的。我們的目標就是在最後一輪（T+1）學習後，讓所有樣本的u_n^{(T+1)}之和儘可能地小。u_n^{(T+1)}之和表示為如下形式：
上式中，\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x_n)被稱為linear score，用s表示。對於0/1 error：若ys<0，則err_{0/1}=1；若ys>=0，則err_{0/1}=0。如下圖右邊黑色折線所示。對於上式中提到的指數error，即\hat{err}_{ADA}(s,y)=exp(-ys)，隨著ys的增加，error單調下降，且始終落在0/1 error折線的上面。如下圖右邊藍色曲線所示。很明顯，\hat{err}_{ADA}(s,y)可以看成是0/1 error的上界。所以，我們可以使用\hat{err}_{ADA}(s,y)來替代0/1 error，能達到同樣的效果。從這點來說，\sum_{n=1}^Nu_n^{(T+1)}可以看成是一種error measure，而我們的目標就是讓其最小化，求出最小值時對應的各個\alpha_t和g_t(x_n)。
下面我們來研究如何讓\sum_{n=1}^Nu_n^{(T+1)}取得最小值，思考是否能用梯度下降（gradient descent）的方法來進行求解。我們之前介紹過gradient descent的核心是在某點處做一階泰勒展開：
其中，w_t是泰勒展開的位置，v是所要求的下降的最好方向，它是梯度\nabla E_{in}(w_t)的反方向，而\eta是每次前進的步長。則每次沿著當前梯度的反方向走一小步，就會不斷逼近谷底（最小值）。這就是梯度下降演算法所做的事情。
現在，我們對\check{E}_{ADA}做梯度下降演算法處理，區別是這裡的方向是一個函式g_t，而不是一個向量w_t。其實，函式和向量的唯一區別就是一個下標是連續的，另一個下標是離散的，二者在梯度下降演算法應用上並沒有大的區別。因此，按照梯度下降演算法的展開式，做出如下推導：
上式中，h(x_n)表示當前的方向，它是一個矩，\eta是沿著當前方向前進的步長。我們要求出這樣的h(x_n)和\eta，使得\check{E}_{ADA}是在不斷減小的。當\check{E}_{ADA}取得最小值的時候，那麼所有的方向即最佳的h(x_n)和\eta就都解出來了。上述推導使用了在-y_n\eta h(x_n)=0處的一階泰勒展開近似。這樣經過推導之後，\check{E}_{ADA}被分解為兩個部分，一個是前N個u之和\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}，也就是當前所有的E_{in}之和；另外一個是包含下一步前進的方向h(x_n)和步進長度\eta的項-\eta\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}y_nh(x_n)。\check{E}_{ADA}的這種形式與gradient descent的形式基本是一致的。
那麼接下來，如果要最小化\check{E}_{ADA}的話，就要讓第二項-\eta\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}y_nh(x_n)越小越好。則我們的目標就是找到一個好的h(x_n)（即好的方向）來最小化\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}(-y_nh(x_n))，此時先忽略步進長度\eta。
對於binary classification，y_n和h(x_n)均限定取值-1或+1兩種。我們對\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}(-y_nh(x_n))做一些推導和平移運算：
最終\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}(-y_nh(x_n))化簡為兩項組成，一項是-\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}；另一項是2E_{in}^{u(t)}(h)\cdot N。則最小化\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}(-y_nh(x_n))就轉化為最小化E_{in}^{u(t)}(h)。要讓E_{in}^{u(t)}(h)最小化，正是由AdaBoost中的base algorithm所做的事情。所以說，AdaBoost中的base algorithm正好幫我們找到了梯度下降中下一步最好的函式方向。
以上就是從數學上，從gradient descent角度驗證了AdaBoost中使用base algorithm得到的g_t就是讓\check{E}_{ADA}減小的方向，只不過這個方向是一個函式而不是向量。
在解決了方向問題後，我們需要考慮步進長度\eta如何選取。方法是在確定方向g_t後，選取合適的\eta，使$$\check{E}{ADA}取得最小值。也就是說，把\check{E}{ADA}看成是步進長度\eta的函式，目標是找到\check{E}_{ADA}最小化時對應的\eta$$值。
目的是找到在最佳方向上的最大步進長度，也就是steepest decent。我們先把\check{E}_{ADA}表示式寫下來：
\check{E}_{ADA}=\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}exp(-y_n\eta g_t(x_n))
上式中，有兩種情況需要考慮：
- y_n=g_t(x_n)：u_n^{(t)}exp(-\eta) correct
-
y_n\neq g_t(x_n)：u_n^{(t)}exp(+\eta) incorrect
經過推導，可得：
\check{E}_{ADA}=(\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)})\cdot ((1-\epsilon_t)exp(-\eta)+\epsilon_t\ exp(+\eta))
然後對\eta求導，令\frac{\partial \check{E}_{ADA}}{\partial \eta}=0，得：
\eta_t=ln\sqrt{\frac{1-\epsilon_t}{\epsilon_t}}=\alpha_t
由此看出，最大的步進長度就是\alpha_t，即AdaBoost中計算g_t所佔的權重。所以，AdaBoost演算法所做的其實是在gradient descent上找到下降最快的方向和最大的步進長度。這裡的方向就是g_t，它是一個函式，而步進長度就是\alpha_t。也就是說，在AdaBoost中確定g_t和\alpha_t的過程就相當於在gradient descent上尋找最快的下降方向和最大的步進長度。
3. Gradient Boosting
前面我們從gradient descent的角度來重新介紹了AdaBoost的最最佳化求解方法。整個過程可以概括為：
以上是針對binary classification問題。如果往更一般的情況進行推廣，對於不同的error function，比如logistic error function或者regression中的squared error function，那麼這種做法是否仍然有效呢？這種情況下的GradientBoost可以寫成如下形式：
仍然按照gradient descent的思想，上式中，h(x_n)是下一步前進的方向，\eta是步進長度。此時的error function不是前面所講的exp了，而是任意的一種error function。因此，對應的hypothesis也不再是binary classification，最常用的是實數輸出的hypothesis，例如regression。最終的目標也是求解最佳的前進方向h(x_n)和最快的步進長度\eta。
接下來，我們就來看看如何求解regression的GradientBoost問題。它的表示式如下所示：
利用梯度下降的思想，我們把上式進行一階泰勒展開，寫成梯度的形式：
上式中，由於regression的error function是squared的，所以，對s的導數就是2(s_n-y_n)。其中標註灰色的部分表示常數，對最小化求解並沒有影響，所以可以忽略。很明顯，要使上式最小化，只要令h(x_n)是梯度2(s_n-y_n)的反方向就行了，即h(x_n)=-2(s_n-y_n)。但是直接這樣賦值，並沒有對h(x_n)的大小進行限制，一般不直接利用這個關係求出h(x_n)。
實際上h(x_n)的大小並不重要，因為有步進長度\eta。那麼，我們上面的最小化問題中需要對h(x_n)的大小做些限制。限制h(x_n)的一種簡單做法是把h(x_n)的大小當成一個懲罰項（h^2(x_n)）新增到上面的最小化問題中，這種做法與regularization類似。如下圖所示，經過推導和整理，忽略常數項，我們得到最關心的式子是：
min\ \sum_{n=1}^N((h(x_n)-(y_n-s_n))^2)
上式是一個完全平方項之和，y_n-s_n表示當前第n個樣本真實值和預測值的差，稱之為餘數。餘數表示當前預測能夠做到的效果與真實值的差值是多少。那麼，如果我們想要讓上式最小化，求出對應的h(x_n)的話，只要讓h(x_n)儘可能地接近餘數y_n-s_n即可。在平方誤差上儘可能接近其實很簡單，就是使用regression的方法，對所有N個點(x_n,y_n-s_n)做squared-error的regression，得到的迴歸方程就是我們要求的g_t(x_n)。
以上就是使用GradientBoost的思想來解決regression問題的方法，其中應用了一個非常重要的概念，就是餘數y_n-s_n。根據這些餘數做regression，得到好的矩g_t(x_n)，方向函式g_t(x_n)也就是由余數決定的。
在求出最好的方向函式g_t(x_n)之後，就要來求相應的步進長度\eta。表示式如下：
同樣，對上式進行推導和化簡，得到如下表示式：
上式中也包含了餘數y_n-s_n，其中g_t(x_n)可以看成是x_n的特徵轉換，是已知量。那麼，如果我們想要讓上式最小化，求出對應的\eta的話，只要讓\eta g_t(x_n)儘可能地接近餘數y_n-s_n即可。顯然，這也是一個regression問題，而且是一個很簡單的形如y=ax的線性迴歸，只有一個未知數\eta。只要對所有N個點(\eta g_t(x_n),y_n-s_n)做squared-error的linear regression，利用梯度下降演算法就能得到最佳的\eta。
將上述這些概念合併到一起，我們就得到了一個最終的演演算法Gradient Boosted Decision Tree(GBDT)。可能有人會問，我們剛才一直沒有說到Decison Tree，只是講到了GradientBoost啊？下面我們來看看Decison Tree究竟是在哪出現並使用的。其實剛剛我們在計算方向函式g_t的時候，是對所有N個點(x_n,y_n-s_n)做squared-error的regression。那麼這個迴歸演算法就可以是決策樹C&RT模型（決策樹也可以用來做regression）。這樣，就引入了Decision Tree，並將GradientBoost和Decision Tree結合起來，構成了真正的GBDT演算法。GBDT演算法的基本流程圖如下所示：
值得注意的是，s_n的初始值一般均設為0，即s_1=s_2=\cdots =s_N=0。每輪迭代中，方向函式g_t透過C&RT演算法做regression，進行求解；步進長度\eta透過簡單的單引數線性迴歸進行求解；然後每輪更新s_n的值，即s_n\leftarrow s_n+\alpha_tg_t(x_n)。T輪迭代結束後，最終得到G(x)=\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x)。
值得一提的是，本節課第一部分介紹的AdaBoost-DTree是解決binary classification問題，而此處介紹的GBDT是解決regression問題。二者具有一定的相似性，可以說GBDT就是AdaBoost-DTree的regression版本。
4. Summary of Aggregation Models
從機器學習技法課程的第7節課筆記到現在的第11節課筆記，我們已經介紹完所有的aggregation模型了。接下來，我們將對這些內容進行一個簡單的總結和概括。
首先，我們介紹了blending。blending就是將所有已知的g_t aggregate結合起來，發揮集體的智慧得到G。值得注意的一點是這裡的g_t都是已知的。blending通常有三種形式：
- uniform：簡單地計算所有g_t的平均值
-
non-uniform：所有g_t的線性組合
-
conditional：所有g_t的非線性組合
其中，uniform採用投票、求平均的形式更注重穩定性；而non-uniform和conditional追求的更復雜準確的模型，但存在過擬合的危險。
剛才講的blending是建立在所有g_t已知的情況。那如果所有g_t未知的情況，對應的就是learning模型，做法就是一邊學g_t，一邊將它們結合起來。learning通常也有三種形式（與blending的三種形式一一對應）：
- Bagging：透過bootstrap方法，得到不同g_t，計算所有g_t的平均值
-
AdaBoost：透過bootstrap方法，得到不同g_t，所有g_t的線性組合
-
Decision Tree：透過資料分割的形式得到不同的g_t，所有g_t的非線性組合
然後，本節課我們將AdaBoost延伸到另一個模型GradientBoost。對於regression問題，GradientBoost透過residual fitting的方式得到最佳的方向函式g_t和步進長度\eta。
除了這些基本的aggregation模型之外，我們還可以把某些模型結合起來得到新的aggregation模型。例如，Bagging與Decision Tree結合起來組成了Random Forest。Random Forest中的Decision Tree是比較“茂盛”的樹，即每個樹的g_t都比較強一些。AdaBoost與Decision Tree結合組成了AdaBoost-DTree。AdaBoost-DTree的Decision Tree是比較“矮弱”的樹，即每個樹的g_t都比較弱一些，由AdaBoost將所有弱弱的樹結合起來，讓綜合能力更強。同樣，GradientBoost與Decision Tree結合就構成了經典的演算法GBDT。
Aggregation的核心是將所有的g_t結合起來，融合到一起，即集體智慧的思想。這種做法之所以能得到很好的模型G，是因為aggregation具有兩個方面的優點：cure underfitting和cure overfitting。
第一，aggregation models有助於防止欠擬合（underfitting）。它把所有比較弱的g_t結合起來，利用集體智慧來獲得比較好的模型G。aggregation就相當於是feature transform，來獲得複雜的學習模型。
第二，aggregation models有助於防止過擬合（overfitting）。它把所有g_t進行組合，容易得到一個比較中庸的模型，類似於SVM的large margin一樣的效果，從而避免一些極端情況包括過擬合的發生。從這個角度來說，aggregation起到了regularization的效果。
由於aggregation具有這兩個方面的優點，所以在實際應用中aggregation models都有很好的表現。
5. 總結
本節課主要介紹了Gradient Boosted Decision Tree。首先講如何將AdaBoost與Decision Tree結合起來，即透過sampling和pruning的方法得到AdaBoost-D Tree模型。然後，我們從optimization的角度來看AdaBoost，找到好的hypothesis也就是找到一個好的方向，找到權重\alpha也就是找到合適的步進長度。接著，我們從binary classification的0/1 error推廣到其它的error function，從Gradient Boosting角度推導了regression的squared error形式。Gradient Boosting其實就是不斷迭代，做residual fitting。並將其與Decision Tree演算法結合，得到了經典的GBDT演算法。最後，我們將所有的aggregation models做了總結和概括，這些模型有的能防止欠擬合有的能防止過擬合，應用十分廣泛。
註明：
文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習技法》課程
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