上節課我們主要介紹了SVM的對偶形式，即dual SVM。Dual SVM也是一個二次規劃問題，可以用QP來進行求解。之所以要推導SVM的對偶形式是因為：首先，它展示了SVM的幾何意義；然後，從計算上，求解過程“好像”與所在維度\hat d無關，規避了\hat d很大時難以求解的情況。但是，上節課的最後，我們也提到dual SVM的計算過程其實跟\hat d還是有關係的。那麼，能不能完全擺脫對\hat d的依賴，從而減少SVM計算量呢？這就是我們本節課所要講的主要內容。
1. Kernel Trick
我們上節課推導的dual SVM是如下形式：
其中\alpha是拉格朗日因子，共N個，這是我們要求解的，而條件共有N+1個。我們來看向量Q_D中的q_{n,m}=y_ny_mz_n^Tz_m，看似這個計算與\hat d無關，但是z_n^Tz_m的內積中不得不引入\hat d。也就是說，如果\hat d很大，計算z_n^Tz_m的複雜度也會很高，同樣會影響QP問題的計算效率。可以說，q_{n,m}=y_ny_mz_n^Tz_m這一步是計算的瓶頸所在。
其實問題的關鍵在於z_n^Tz_m內積求解上。我們知道，z是由x經過特徵轉換而來：
z_n^Tz_m=\Phi(x_n)\Phi(x_m)
如果從x空間來看的話，z_n^Tz_m分為兩個步驟：1. 進行特徵轉換\Phi(x_n)和\Phi(x_m)；2. 計算\Phi(x_n)與\Phi(x_m)的內積。這種先轉換再計算內積的方式，必然會引入\hat d引數，從而在\hat d很大的時候影響計算速度。那麼，若把這兩個步驟聯合起來，是否可以有效地減小計算量，提高計算速度呢？
我們先來看一個簡單的例子，對於二階多項式轉換，各種排列組合為：
這裡提一下，為了簡單起見，我們把x_0=1包含進來，同時將二次項x_1x_2和x_2x_1也包含進來。轉換之後再做內積並進行推導，得到：
其中x^Tx’是x空間中特徵向量的內積。所以，\Phi_2(x)與\Phi_2(x’)的內積的複雜度由原來的O(d^2)變成O(d)，只與x空間的維度d有關，而與z空間的維度\hat d無關，這正是我們想要的！
至此，我們發現如果把特徵轉換和z空間計算內積這兩個步驟合併起來，有可能會簡化計算。因為我們只是推導了二階多項式會提高運算速度，這個特例並不具有一般推論性。但是，我們還是看到了希望。
我們把合併特徵轉換和計算內積這兩個步驟的操作叫做Kernel Function，用大寫字母K表示。例如剛剛講的二階多項式例子，它的kernel function為：
K_{\Phi}(x,x’)=\Phi(x)^T\Phi(x’)
K_{\Phi_2}(x,x’)=1+(x^Tx’)+(x^Tx’)^2
有了kernel function之後，我們來看看它在SVM裡面如何使用。在dual SVM中，二次項係數q_{n,m}中有z的內積計算，就可以用kernel function替換：
q_{n,m}=y_ny_mz_n^Tz_m=y_ny_mK(x_n,x_m)
所以，直接計算出K(x_n,x_m)，再代入上式，就能得到q_{n,m}的值。
q_{n,m}值計算之後，就能透過QP得到拉格朗日因子\alpha_n。然後，下一步就是計算b（取\alpha_n>0的點，即SV），b的表示式中包含z，可以作如下推導：
b=y_s-w^Tz_s=y_s-(\sum_{n=1}^N\alpha_ny_nz_n)^Tz_s=y_s-\sum_{n=1}^N\alpha_ny_n(K(x_n,x_s))
這樣得到的b就可以用kernel function表示，而與z空間無關。
最終我們要求的矩g_{SVM}可以作如下推導：
g_{SVM}(x)=sign(w^T\Phi(x)+b)=sign((\sum_{n=1}^N\alpha_ny_nz_n)^Tz+b)=sign(\sum_{n=1}^N\alpha_ny_n(K(x_n,x))+b)
至此，dual SVM中我們所有需要求解的引數都已經得到了，而且整個計算過程中都沒有在z空間作內積，即與z無關。我們把這個過程稱為kernel trick，也就是把特徵轉換和計算內積兩個步驟結合起來，用kernel function來避免計算過程中受\hat d的影響，從而提高運算速度。
那麼總結一下，引入kernel funtion後，SVM演算法變成：
分析每個步驟的時間複雜度為：
我們把這種引入kernel function的SVM稱為kernel SVM，它是基於dual SVM推導而來的。kernel SVM同樣只用SV（\alpha_n>0）就能得到最佳分類面，而且整個計算過程中擺脫了\hat d的影響，大大提高了計算速度。
2. Polynomial Kernel
我們剛剛透過一個特殊的二次多項式匯出了相對應的kernel，其實二次多項式的kernel形式是多種的。例如，相應係數的放縮構成完全平方公式等。下面列舉了幾種常用的二次多項式kernel形式：
比較一下，第一種\Phi_2(x)（藍色標記）和第三種\Phi_2(x)（綠色標記）從某種角度來說是一樣的，因為都是二次轉換，對應到同一個z空間。但是，它們係數不同，內積就會有差異，那麼就代表有不同的距離，最終可能會得到不同的SVM margin。所以，係數不同，可能會得到不同的SVM分界線。通常情況下，第三種\Phi_2(x)（綠色標記）簡單一些，更加常用。
不同的轉換，對應到不同的幾何距離，得到不同的距離，這是什麼意思呢？舉個例子，對於我們之前介紹的一般的二次多項式kernel，它的SVM margin和對應的SV如下圖（中）所示。對於上面介紹的完全平方公式形式，自由度\gamma=0.001，它的SVM margin和對應的SV如下圖（左）所示。比較發現，這種SVM margin比較簡單一些。對於自由度\gamma=1000，它的SVM margin和對應的SV如下圖（右）所示。與前兩種比較，margin和SV都有所不同。
透過改變不同的係數，得到不同的SVM margin和SV，如何選擇正確的kernel，非常重要。
歸納一下，引入\zeta\geq 0和\gamma>0，對於Q次多項式一般的kernel形式可表示為：
所以，使用高階的多項式kernel有兩個優點：
- 得到最大SVM margin，SV數量不會太多，分類面不會太複雜，防止過擬合，減少複雜度
-
計算過程避免了對\hat d的依賴，大大簡化了計算量。
順便提一下，當多項式階數Q=1時，那麼對應的kernel就是線性的，即本系列課程第一節課所介紹的內容。對於linear kernel，計算方法是簡單的，而且也是我們解決SVM問題的首選。還記得機器學習基石課程中介紹的奧卡姆剃刀定律（Occam’s Razor）嗎？
3. Gaussian Kernel
剛剛我們介紹的Q階多項式kernel的階數是有限的，即特徵轉換的\hat d是有限的。但是，如果是無限多維的轉換\Phi(x)，是否還能透過kernel的思想，來簡化SVM的計算呢？答案是肯定的。
先舉個例子，簡單起見，假設原空間是一維的，只有一個特徵x，我們構造一個kernel function為高斯函式：
K(x,x’)=e^{-(x-x’)^2}
構造的過程正好與二次多項式kernel的相反，利用反推法，先將上式分解並做泰勒展開：
將構造的K(x,x’)推導展開為兩個\Phi(x)和\Phi(x’)的乘積，其中：
\Phi(x)=e^{-x^2}\cdot (1,\sqrt \frac{2}{1!}x,\sqrt \frac{2^2}{2!}x^2,\cdots)
透過反推，我們得到了\Phi(x)，\Phi(x)是無限多維的，它就可以當成特徵轉換的函式，且\hat d是無限的。這種\Phi(x)得到的核函式即為Gaussian kernel。
更一般地，對於原空間不止一維的情況（d>1），引入縮放因子\gamma>0，它對應的Gaussian kernel表示式為：
K(x,x’)=e^{-\gamma||x-x’||^2}
那麼引入了高斯核函式，將有限維度的特徵轉換擴充到無限的特徵轉換中。根據本節課上一小節的內容，由K，計算得到\alpha_n和b，進而得到矩g_{SVM}。將其中的核函式K用高斯核函式代替，得到：
g_{SVM}(x)=sign(\sum_{SV}\alpha_ny_nK(x_n,x)+b)=sign(\sum_{SV}\alpha_ny_ne^{(-\gamma||x-x_n||^2)}+b)
透過上式可以看出，g_{SVM}有n個高斯函式線性組合而成，其中n是SV的個數。而且，每個高斯函式的中心都是對應的SV。通常我們也把高斯核函式稱為徑向基函式（Radial Basis Function, RBF）。
總結一下，kernel SVM可以獲得large-margin的hyperplanes，並且可以透過高階的特徵轉換使E_{in}儘可能地小。kernel的引入大大簡化了dual SVM的計算量。而且，Gaussian kernel能將特徵轉換擴充套件到無限維，並使用有限個SV數量的高斯函式構造出矩g_{SVM}。
值得注意的是，縮放因子\gamma取值不同，會得到不同的高斯核函式，hyperplanes不同，分類效果也有很大的差異。舉個例子，\gamma分別取1, 10, 100時對應的分類效果如下：
從圖中可以看出，當\gamma比較小的時候，分類線比較光滑，當\gamma越來越大的時候，分類線變得越來越複雜和扭曲，直到最後，分類線變成一個個獨立的小區域，像小島一樣將每個樣本單獨包起來了。為什麼會出現這種區別呢？這是因為\gamma越大，其對應的高斯核函式越尖瘦，那麼有限個高斯核函式的線性組合就比較離散，分類效果並不好。所以，SVM也會出現過擬合現象，\gamma的正確選擇尤為重要，不能太大。
4. Comparison of Kernels
目前為止，我們已經介紹了幾種kernel，下面來對幾種kernel進行比較。
首先，Linear Kernel是最簡單最基本的核，平面上對應一條直線，三維空間裡對應一個平面。Linear Kernel可以使用上一節課介紹的Dual SVM中的QP直接計算得到。
Linear Kernel的優點是計算簡單、快速，可以直接使用QP快速得到引數值，而且從視覺上分類效果非常直觀，便於理解；缺點是如果資料不是線性可分的情況，Linear Kernel就不能使用了。
然後，Polynomial Kernel的hyperplanes是由多項式曲線構成。
Polynomial Kernel的優點是階數Q可以靈活設定，相比linear kernel限制更少，更貼近實際樣本分佈；缺點是當Q很大時，K的數值範圍波動很大，而且引數個數較多，難以選擇合適的值。
對於Gaussian Kernel，表示為高斯函式形式。
Gaussian Kernel的優點是邊界更加複雜多樣，能最準確地區分資料樣本，數值計算K值波動較小，而且只有一個引數，容易選擇；缺點是由於特徵轉換到無限維度中，w沒有求解出來，計算速度要低於linear kernel，而且可能會發生過擬合。
除了這三種kernel之外，我們還可以使用其它形式的kernel。首先，我們考慮kernel是什麼？實際上kernel代表的是兩筆資料x和x’，特徵變換後的相似性即內積。但是不能說任何計算相似性的函式都可以是kernel。有效的kernel還需滿足幾個條件：
- K是對稱的
-
K是半正定的
這兩個條件不僅是必要條件，同時也是充分條件。所以，只要我們構造的K同時滿足這兩個條件，那它就是一個有效的kernel。這被稱為Mercer 定理。事實上，構造一個有效的kernel是比較困難的。
5. 總結
本節課主要介紹了Kernel Support Vector Machine。首先，我們將特徵轉換和計算內積的操作合併到一起，消除了\hat d的影響，提高了計算速度。然後，分別推導了Polynomial Kernel和Gaussian Kernel，並列舉了各自的優缺點並做了比較。對於不同的問題，應該選擇合適的核函式進行求解，以達到最佳的分類效果。
註明：
文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習技法》課程
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