上節課我們主要講了為了避免overfitting，可以使用regularization方法來解決。在之前的E_{in}上加上一個regularizer，生成E_{aug}，將其最小化，這樣可以有效減少模型的複雜度，避免過擬合現象的發生。那麼，機器學習領域還有許多選擇，如何保證訓練的模型具有良好的泛化能力？本節課將介紹一些概念和方法來解決這個選擇性的問題。
一、Model Selection Problem
機器學習模型建立的過程中有許多選擇，例如對於簡單的二元分類問題，首先是演算法A的選擇，有PLA，pocket，linear regression，logistic regression等等；其次是迭代次數T的選擇，有100，1000,10000等等；之後是學習速率\eta的選擇，有1，0.01,0.0001等等；接著是模型特徵轉換\Phi的選擇，有linear，quadratic，poly-10，Legendre-poly-10等等；然後是正則化regularizer的選擇，有L2，L1等等；最後是正則化係數\lambda的選擇，有0，0.01，1等等。不同的選擇搭配，有不同的機器學習效果。我們的目標就是找到最合適的選擇搭配，得到一個好的矩g，構建最佳的機器學習模型。
假設有M個模型，對應有H_1,H_2,\cdots,H_M，即有M個hypothesis set，演演算法為A_1,A_2,\cdots,A_M，共M個。我們的目標是從這M個hypothesis set中選擇一個模型H_{m^*}，透過演演算法A_{m^*}對樣本集D的訓練，得到一個最好的矩g_{m^*}，使其E_{out}(g_{m^*})最小。所以，問題的關鍵就是機器學習中如何選擇到最好的矩g_{m^*}。
考慮有這樣一種方法，對M個模型分別計算使E_{in}最小的矩g，再橫向比較，取其中能使E_{in}最小的模型的矩g_{m^*}：
但是E_{in}足夠小並不能表示模型好，反而可能表示訓練的矩g_{m^*}發生了過擬合，泛化能力很差。而且這種“模型選擇+學習訓練”的過程，它的VC Dimension是d_{VC}(H_1\cup H_2)，模型複雜度增加。總的來說，泛化能力差，用E_{in}來選擇模型是不好的。
另外一種方法，如果有這樣一個獨立於訓練樣本的測試集，將M個模型在測試集上進行測試，看一下E_{test}的大小，則選取E_{test}最小的模型作為最佳模型：
這種測試集驗證的方法，根據finite-bin Hoffding不等式，可以得到：
E_{out}(g_{m^*})\leq E_{test}(g_{m^*})+O(\sqrt \frac{log M}{N_{test}})
由上式可以看出，模型個數M越少，測試集數目越大，那麼O(\sqrt \frac{log M}{N_{test}})越小，即E_{test}(g_{m^*})越接近於E_{out}(g_{m^*})。
下面比較一下之前講的兩種方法，第一種方法使用E_{in}作為判斷基準，使用的資料集就是訓練集D本身；第二種方法使用E_{test}作為判斷基準，使用的是獨立於訓練集D之外的測試集。前者不僅使用D來訓練不同的g_m，而且又使用D來選擇最好的g_{m^*}，那麼g_{m^*}對未知資料並不一定泛化能力好。舉個例子，這相當於老師用學生做過的練習題再來對學生進行考試，那麼即使學生得到高分，也不能說明他的學習能力強。所以最小化E_{in}的方法並不科學。而後者使用的是獨立於D的測試集，相當於新的考試題能更好地反映學生的真實水平，所以最小化E_{test}更加理想。
但是，我們拿到的一都是訓練集D，測試集是拿不到的。所以，尋找一種折中的辦法，我們可以使用已有的訓練集D來創造一個驗證集validation set，即從D中劃出一部分D_{val}作為驗證集。D另外的部分作為訓練模型使用，D_{val}獨立開來，用來測試各個模型的好壞，最小化E_{val}，從而選擇最佳的g_{m^*}。
二、Validation
從訓練集D中抽出一部分K個資料作為驗證集D_{val}，D_{val}對應的error記為E_{val}。這樣做的一個前提是保證D_{val}獨立同分布（iid）於P(x,y)，也就是說D_{val}的選擇是從D中平均隨機抽樣得到的，這樣能夠把E_{val}與E_{out}聯絡起來。D中去除D_{val}後的資料就是供模型選擇的訓練資料D_{train}，其大小為N-k。從D_{train}中選擇最好的矩，記為g_m^-。
假如D共有1000個樣本，那麼可以選擇其中900個D_{train}，剩下的100個作為D_{val}。使用D_{train}訓練模型，得到最佳的g_m^-，使用g_m^-對D_{val}進行驗證，得到如下Hoffding不等式：
E_{out}(g_m^-)\leq E_{val}(g_m^-)+O(\sqrt \frac{log M}{K})
假設有M種模型hypothesis set，D_{val}的數量為K，那麼從每種模型m中得到一個在D_{val}上表現最好的矩，再橫向比較，從M個矩中選擇一個最好的m*作為我們最終得到的模型。
現在由於數量為N的總樣本D的一部分K作為驗證集，那麼只有N-k個樣本可供訓練。從D_{train}中得到最好的g_{m^*}^-，而總樣本D對應的最好的矩為g_{m^*}。根據之前的leraning curve很容易知道，訓練樣本越多，得到的模型越準確，其hypothesis越接近target function，即D的E_{out}比D_{train}的E_{out}要小：
所以，我們通常的做法是透過D_{val}來選擇最好的矩g_{m^*}^-對應的模型m^*，再對整體樣本集D使用該模型進行訓練，最終得到最好的矩g_{m^*}。
總結一下，使用驗證集進行模型選擇的整個過程為：先將D分成兩個部分，一個是訓練樣本D_{train}，一個是驗證集D_{val}。若有M個模型，那麼分別對每個模型在D_{train}上進行訓練，得到矩g_{m}^-，再用D_{val}對每個g_{m}^-進行驗證，選擇表現最好的矩g_{m^*}^-，則該矩對應的模型被選擇。最後使用該模型對整個D進行訓練，得到最終的g_{m^*}。下圖展示了整個模型選擇的過程：
不等式關係滿足：
E_{out}(g_{m^*})\leq E_{out}(g_{m^*}^-)\leq E_{val}(g_{m^*}^-)+O(\sqrt \frac{log M}{K})
下面我們舉個例子來解釋這種模型選擇的方法的優越性，假設有兩個模型：一個是5階多項式H_{\Phi_5}，一個是10階多項式H_{\Phi_{10}}。透過不使用驗證集和使用驗證集兩種方法對模型選擇結果進行比較，分析結果如下：
圖中，橫座標表示驗證集數量K，縱座標表示E_{out}大小。黑色水平線表示沒有驗證集，完全使用E_{in}進行判斷基準，那麼H_{\Phi_{10}}更好一些，但是這種方法的E_{out}比較大，而且與K無關。黑色虛線表示測試集非常接近實際資料，這是一種理想的情況，其E_{out}很小，同樣也與K無關，實際中很難得到這條虛線。紅色曲線表示使用驗證集，但是最終選取的矩是g_{m^*}^-，其趨勢是隨著K的增加，它對應的E_{out}先減小再增大，當K大於一定值的時候，甚至會超過黑色水平線。藍色曲線表示也使用驗證集，最終選取的矩是g_{m^*}，其趨勢是隨著K的增加，它對應的E_{out}先緩慢減小再緩慢增大，且一直位於紅色曲線和黑色直線之下。從此可見，藍色曲線對應的方法最好，符合我們之前討論的使用驗證集進行模型選擇效果最好。
這裡提一點，當K大於一定的值時，紅色曲線會超過黑色直線。這是因為隨著K的增大，D_{val}增大，但可供模型訓練的D_{train}在減小，那得到的g_{m^*}^-不具有很好的泛化能力，即對應的E_{out}會增大，甚至當K增大到一定值時，比E_{in}模型更差。
那麼，如何設定驗證集K值的大小呢？根據之前的分析：
當K值很大時，E_{val}\approx E_{out}，但是g_m^-與g_m相差很大；當K值很小是，g_m^-\approx g_m，但是E_{val}與E_{out}可能相差很大。所以有個折中的辦法，通常設定k=\frac N5。值得一提的是，劃分驗證集，通常並不會增加整體時間複雜度，反而會減少，因為D_{train}減少了。
三、Leave-One-Out Cross Validation
假如考慮一個極端的例子，k=1，也就是說驗證集大小為1，即每次只用一組資料對g_m進行驗證。這樣做的優點是g_m^-\approx g_m，但是E_{val}與E_{out}可能相差很大。為了避免E_{val}與E_{out}相差很大，每次從D中取一組作為驗證集，直到所有樣本都作過驗證集，共計算N次，最後對驗證誤差求平均，得到E_{loocv}(H,A)，這種方法稱之為留一法交叉驗證，表示式為：
E_{loocv}(H,A)=\frac1N\sum_{n=1}^Ne_n=\frac1N\sum_{n=1}^Nerr(g_n^-(x_n),y_n)
這樣求平均的目的是為了讓E_{loocv}(H,A)儘可能地接近E_{out}(g)。
下面用一個例子圖解留一法的過程：
如上圖所示，要對二維平面上的三個點做擬合，上面三個圖表示的是線性模型，下面三個圖表示的是常數模型。對於兩種模型，分別使用留一交叉驗證法來計算E_{loocv}，計算過程都是每次將一個點作為驗證集，其他兩個點作為訓練集，最終將得到的驗證誤差求平均值，就得到了E_{loocv}(linear)和E_{loocv}(constant)，比較兩個值的大小，取值小對應的模型即為最佳模型。
接下來，我們從理論上分析Leave-One-Out方法的可行性，即E_{loocv}(H,A)是否能保證E_{out}的矩足夠好？假設有不同的資料集D，它的期望分佈記為\varepsilon_D，則其E_{loocv}(H,A)可以透過推導，等於E_{out}(N-1)的平均值。由於N-1近似為N，E_{out}(N-1)的平均值也近似等於E_{out}(N)的平均值。具體推導過程如下：
最終我們得到的結論是E_{loocv}(H,A)的期望值和E_{out}(g^-)的期望值是相近的，這代表得到了比較理想的E_{out}(g)，Leave-One-Out方法是可行的。
舉一個例子，使用兩個特徵：Average Intensity和Symmetry加上這兩個特徵的非線性變換（例如高階項）來進行手寫數字識別。平面特徵分佈如下圖所示：
Error與特徵數量的關係如下圖所示：
從圖中我們看出，隨著特徵數量的增加，E_{in}不斷減小，E_{out}先減小再增大，雖然E_{in}是不斷減小的，但是它與E_{out}的差距越來越大，發生了過擬合，泛化能力太差。而E_{cv}與E_{out}的分佈基本一致，能較好地反映E_{out}的變化。所以，我們只要使用Leave-One-Out方法得到使E_{cv}最小的模型，就能保證其E_{out}足夠小。下圖是分別使用E_{in}和E_{out}進行訓練得到的分類曲線：
很明顯可以看出，使用E_{in}發生了過擬合，而E_{loocv}分類效果更好，泛化能力強。
四、V-Fold Cross Validation
接下來我們看看Leave-One-Out可能的問題是什麼。首先，第一個問題是計算量，假設N=1000，那麼就需要計算1000次的E_{loocv}，再計算其平均值。當N很大的時候，計算量是巨大的，很耗費時間。第二個問題是穩定性，例如對於二分類問題，取值只有0和1兩種，預測本身存在不穩定的因素，那麼對所有的E_{loocv}計算平均值可能會帶來很大的數值跳動，穩定性不好。所以，這兩個因素決定了Leave-One-Out方法在實際中並不常用。
針對Leave-One-Out的缺點，我們對其作出了改進。Leave-One-Out是將N個資料分成N分，那麼改進措施是將N個資料分成V份（例如V=10），計算過程與Leave-One-Out相似。這樣可以減少總的計算量，又能進行交叉驗證，得到最好的矩，這種方法稱為V-折交叉驗證。其實Leave-One-Out就是V-折交叉驗證的一個極端例子。
E_{cv}(H,A)=\frac1V\sum_{v=1}^VE_{val}^{(V)}(g_V^-)
所以呢，一般的Validation使用V-折交叉驗證來選擇最佳的模型。值得一提的是Validation的資料來源也是樣本集中的，所以並不能保證交叉驗證的效果好，它的模型一定好。只有樣本資料越多，越廣泛，那麼Validation的結果越可信，其選擇的模型泛化能力越強。
五、總結
本節課主要介紹了Validation驗證。先從如何選擇一個好的模型開始切入，例如使用E_{in}、E_{test}都是不太好的，最終使用E_{val}來進行模型選擇。然後詳細介紹了Validation的過程。最後，介紹了Leave-One-Out和V-Fold Cross兩種驗證方法，比較它們各自的優點和缺點，實際情況下，V-Fold Cross更加常用。
註明：
文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習基石》課程
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