上一節課，我們介紹了Linear Regression線性迴歸，以及用平方錯誤來尋找最佳的權重向量w，獲得最好的線性預測。本節課將介紹Logistic Regression邏輯迴歸問題。
一、Logistic Regression Problem
一個心臟病預測的問題：根據患者的年齡、血壓、體重等資訊，來預測患者是否會有心臟病。很明顯這是一個二分類問題，其輸出y只有{-1,1}兩種情況。
二元分類，一般情況下，理想的目標函式f(x)>0.5，則判斷為正類1；若f(x)<0.5，則判斷為負類-1。
但是，如果我們想知道的不是患者有沒有心臟病，而是到底患者有多大的機率是心臟病。這表示，我們更關心的是目標函式的值（分佈在0,1之間），表示是正類的概率（正類表示是心臟病）。這跟我們原來討論的二分類問題不太一樣，我們把這個問題稱為軟性二分類問題（’soft’ binary classification）。這個值越接近1，表示正類的可能性越大；越接近0，表示負類的可能性越大。
對於軟性二分類問題，理想的資料是分佈在[0,1]之間的具體值，但是實際中的資料只可能是0或者1，我們可以把實際中的資料看成是理想資料加上了噪聲的影響。
如果目標函式是f(x)=P(+1|x)\in[0,1]的話，我們如何找到一個好的Hypothesis跟這個目標函式很接近呢？
首先，根據我們之前的做法，對所有的特徵值進行加權處理。計算的結果s，我們稱之為’risk score’：
但是特徵加權和s\in(-\infty,+\infty)，如何將s值限定在[0,1]之間呢？一個方法是使用sigmoid Function，記為\theta(s)。那麼我們的目標就是找到一個hypothesis：
h(x)=\theta(w^Tx)。
二、Logistic Regression Error
現在我們將Logistic Regression與之前講的Linear Classification、Linear Regression做個比較：
這三個線性模型都會用到線性scoring function s=w^Tx。linear classification的誤差使用的是0/1 err；linear regression的誤差使用的是squared err。那麼logistic regression的誤差該如何定義呢？
先介紹一下“似然性”的概念。目標函式f(x)=P(+1|x)，如果我們找到了hypothesis很接近target function。也就是說，在所有的Hypothesis集合中找到一個hypothesis與target function最接近，能產生同樣的資料集D，包含y輸出label，則稱這個hypothesis是最大似然likelihood。
如果將w代入的話：
為了把連乘問題簡化計算，我們可以引入ln操作，讓連乘轉化為連加：
接著，我們將maximize問題轉化為minimize問題，新增一個負號就行，並引入平均數操作\frac1N：
將logistic function的表示式帶入，那麼minimize問題就會轉化為如下形式：
至此，我們得到了logistic regression的err function，稱之為cross-entropy error交叉熵誤差：
三、Gradient of Logistic Regression Error
我們已經推導了E_{in}的表示式，那接下來的問題就是如何找到合適的向量w，讓E_{in}最小。
Logistic Regression的E_{in}是連續、可微、二次可微的凸曲線（開口向上），根據之前Linear Regression的思路，我們只要計算E_{in}的梯度為零時的w，即為最優解。
對E_{in}計算梯度，學過微積分的都應該很容易計算出來：
最終得到的梯度表示式為：
為了計算E_{in}最小值，我們就要找到讓\nabla E_{in}(w)等於0的位置。
上式可以看成\theta(-y_nw^Tx_n)是-y_nx_n的線性加權。要求\theta(-y_nw^Tx_n)與-y_nx_n的線性加權和為0，那麼一種情況是線性可分，如果所有的權重\theta(-y_nw^Tx_n)為0，那就能保證\nabla E_{in}(w)為0。\theta(-y_nw^Tx_n)是sigmoid function，根據其特性，只要讓-y_nw^Tx_n≪0 ，即y_nw^Tx_n≫0 。y_nw^Tx_n≫0 表示對於所有的點，y_n與w^Tx_n都是同號的，這表示資料集D必須是全部線性可分的才能成立。
然而，保證所有的權重\theta(-y_nw^Tx_n)為0是不太現實的，總有不等於0的時候，那麼另一種常見的情況是非線性可分，只能通過使加權和為零，來求解w。這種情況沒有closed-form解，與Linear Regression不同，只能用迭代方法求解。
之前所說的Linear Regression有closed-form解，可以說是“一步登天”的；但是PLA演算法是一步一步修正迭代進行的，每次對錯誤點進行修正，不斷更新w值。PLA的迭代優化過程表示如下：
w每次更新包含兩個內容：一個是每次更新的方向y_nx_n，用v表示，另一個是每次更新的步長\eta。引數(v,\eta)和終止條件決定了我們的迭代優化演算法。
四、Gradient Descent
根據上一小節PLA的思想，迭代優化讓每次w都有更新：
我們把E_{in}(w)曲線看做是一個山谷的話，要求E_{in}(w)最小，即可比作下山的過程。整個下山過程由兩個因素影響：一個是下山的單位方向v；另外一個是下山的步長\eta。
利用微分思想和線性近似，假設每次下山我們只前進一小步，即\eta很小，那麼根據泰勒Taylor一階展開，可以得到：
E_{in}(w_t+\eta v)\approx E_{in}(w_t)+\eta v^T\nabla E_{in}(w_t)
關於Taylor展開的介紹，可參考我另一篇部落格：
迭代的目的是讓E_{in}越來越小，即讓E_{in}(w_t+\eta v)\le E_{in}(w_t)。\eta是標量，因為如果兩個向量方向相反的話，那麼他們的內積最小（為負），也就是說如果方向v與梯度\nabla E_{in}(w_t)反向的話，那麼就能保證每次迭代E_{in}(w_t+\eta v)\le E_{in}(w_t)都成立。則，我們令下降方向v為：
v=-\frac{\nabla E_{in}(w_t)}{||\nabla E_{in}(w_t)||}
v是單位向量，v每次都是沿著梯度的反方向走，這種方法稱為梯度下降（gradient descent）演算法。那麼每次迭代公式就可以寫成：
w_{t+1}\leftarrow w_t-\eta\frac{\nabla E_{in}(w_t)}{||\nabla E_{in}(w_t)||}
下面討論一下\eta的大小對迭代優化的影響：\eta如果太小的話，那麼下降的速度就會很慢；\eta如果太大的話，那麼之前利用Taylor展開的方法就不準了，造成下降很不穩定，甚至會上升。因此，\eta應該選擇合適的值，一種方法是在梯度較小的時候，選擇小的\eta，梯度較大的時候，選擇大的\eta，即\eta正比於||\nabla E_{in}(w_t)||。這樣保證了能夠快速、穩定地得到最小值E_{in}(w)。
對學習速率\eta做個更修正，梯度下降演算法的迭代公式可以寫成：
w_{t+1}\leftarrow w_t-\eta’\nabla E_{in}(w_t)
其中：
\eta’=\frac{\eta}{||\nabla E_{in}(w_t)||}
總結一下基於梯度下降的Logistic Regression演算法步驟如下：
- 初始化w_0
-
計算梯度\nabla E_{in}(w_t)=\frac1N\sum_{n=1}^N\theta(-y_nw_t^Tx_n)(-y_nx_n)
-
迭代跟新w_{t+1}\leftarrow w_t-\eta\nabla E_{in}(w_t)
-
滿足\nabla E_{in}(w_{t+1})\approx0或者達到迭代次數，迭代結束
五、總結
我們今天介紹了Logistic Regression。首先，從邏輯迴歸的問題出發，將P(+1|x)作為目標函式，將\theta(w^Tx)作為hypothesis。接著，我們定義了logistic regression的err function，稱之為cross-entropy error交叉熵誤差。然後，我們計算logistic regression error的梯度，最後，通過梯度下降演算法，計算\nabla E_{in}(w_t)\approx0時對應的w_t值。
註明：
文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習基石》課程
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