二叉樹基礎上

1. 樹（Tree）

首先我們來看幾個樹的例子。

在一個樹結構裡，每個元素我們稱之為節點，從上到下相鄰節點連線的關係，我們稱之為父子關係。

在上面的圖中，A 節點就是 B 節點的父節點，B 節點就是 A 節點的子節點。B、C、D 這三個節點的父節點是同一個節點，所以它們之間互稱為兄弟節點。另外，如果一個節點沒有父節點，我們稱之為根節點，比如上圖中的 E 節點。沒有子節點的節點稱為葉子節點或者葉節點，比如上圖中的 G、H、I、J、K、L 節點。

還有幾個關於樹的比較重要的概念：高度（Height）、深度（Depth）、層（Level），它們的定義如下。

高度其實就是從下往上計量，最下面的葉節點高度為 0，每向上一個節點，高度加 1。深度則是從上往下計量，根節點深度為 0，每向下一個節點，深度加 1。層則和深度類似，只不過根節點的層為 1，計數從 1 開始罷了。

2. 二叉樹（Binary Tree）

樹的結構多種多樣，但我們最常用的還是二叉樹。

二叉樹，顧名思義，就是說每個節點最多有兩個分叉，也就是兩個子節點，分別為左子節點和右子節點。不過，二叉樹並不要求每個結點都有兩個子節點，而是最多隻能有兩個子節點。以此類推，四叉樹、八叉樹也和二叉樹同理。

上圖中，第 2 個二叉樹中的葉子節點全都在最底層，而且，除了葉子節點外，每個節點都有左右兩個子節點，這種二叉樹就叫作滿二叉樹。

第 3 個二叉樹中的葉子節點都在最底下兩層，最後一層的葉子節點都靠左排列，並且除了最後一層，其它層的節點個數都要達到最大，這種二叉樹就叫作完全二叉樹。

完全二叉樹為什麼最後一層的葉子節點要靠左排列呢？這個定義有什麼由來或者說目的在哪裡呢？我們要從二叉樹的儲存方式來了解。想要儲存一棵二叉樹，我們有兩種方法，一種是基於指標或者引用的二叉鏈式儲存法，一種是基於陣列的順序儲存法。

我們先來看比較簡單、直觀的鏈式儲存法。其中，每個節點有三個欄位，其中一個儲存資料，另外兩個分別是指向左右子節點的指標。

再來看基於陣列的順序儲存法。我們把根節點儲存在下標為 i = 1 的位置，左子節點就儲存在下標為 2 * i = 2 的位置，右子節點就儲存在下標為 2 * i + 1 = 3 的位置。以此類推，B 節點的左子節點 就儲存在 2 * 2 = 4 的位置，右子節點就儲存在 2 * 2 + 1 = 5 的位置。

也就是說，如果節點 X 儲存在下標為 i 的位置，那下標為 2 * i 的位置儲存的就是左子節點，下標為 2 * i + 1 的位置儲存的就是右子節點，而且下標為 i / 2 的位置儲存的就是其父節點。以這種方式儲存，我們就可以通過根節點的位置很容易地把整棵樹都串起來。

不過，剛才的情況是一棵完全二叉樹，我們就浪費了陣列中一個下標為 0 的位置。如果是一個非完全二叉樹，那就會浪費比較多的陣列儲存空間。

所以，如果某棵樹是完全二叉樹，那用陣列來儲存無疑是最節省記憶體的方式，因為陣列不需要額外的指標來指向左右子節點。因此，這也就是為什麼完全二叉樹會要求最後一層的子節點都靠左的原因。

3. 二叉樹的遍歷

二叉樹的遍歷有三種經典方法，前序遍歷、中序遍歷和後序遍歷，其中，前、中、後序指的是節點和它的左右子樹節點列印的先後順序。

• 前序遍歷，就是對於樹中的任意節點來說，先列印這個節點，然後再列印它的左子樹，最後列印它的右子樹。

• 中序遍歷，就是對於樹中的任意節點來說，先列印它的左子樹，然後再列印這個節點，最後列印它的右子樹。

• 後序遍歷，就是對於樹中的任意節點來說，先列印它的左子樹，然後再列印它的右子樹，最後列印這個節點。

可以看到，二叉樹的遍歷其實就是一個遞迴的過程。比如前序遍歷，其實就是先列印根節點，然後再遞迴地列印左子樹，最後遞迴地列印右子樹。

void preOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  print root // 此處為虛擬碼，表示列印 root 節點
  preOrder(root->left);
  preOrder(root->right);
}

void inOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  inOrder(root->left);
  print root // 此處為虛擬碼，表示列印 root 節點
  inOrder(root->right);
}

void postOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  postOrder(root->left);
  postOrder(root->right);
  print root // 此處為虛擬碼，表示列印 root 節點
}
複製程式碼

在遍歷的過程中，每個節點最多會被訪問兩次，所以遍歷的時間複雜度與節點的個數成正比，為 O(n)。

參考資料-極客時間專欄《資料結構與演算法之美》

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