時間序列平穩性、白噪聲、隨機遊走

作者：東哥起飛，來源：Python資料科學

本文開啟時間序列系列的相關介紹，從零梳理時序概念、相關技術、和實戰案例，歡迎訂閱 ?時間序列專欄 跟蹤全部內容。

本篇介紹時間序列的平穩性的相關概念。很多傳統時序方法比如ARMA、ARIMA都需要時序具備平穩性，那什麼是時序的平穩性？為什麼需要平穩性，平穩性有什麼作用？

什麼是平穩性？

時間序列平穩性是指一組時間序列資料看起來平坦，各階統計特徵不隨時間的變化而變化。平穩性分為寬平穩和嚴平穩，我們分別給出定義：

嚴平穩

嚴平穩是一種條件很苛刻的定義，時間序列的所有統計性質（如均值、方差、協方差...N階矩）都不會隨時間推移而發生變化，才能被認為是平穩的。因為隨機變數族統計性質完全由聯合機率分佈族決定，所以嚴平穩定義為：

為時間序列，對於任意正整數，任取 和任意整數，當時，有

時間序列與有相同的聯合分佈函式， 即

但現實中獲取隨機序列的聯合分佈非常難，所以一般不適用嚴平穩，而使用條件不算苛刻的寬平穩。

寬平穩

寬平穩，也叫弱平穩、二階平穩，或者協方差平穩。寬平穩時間序列的統計性質主要由低階矩（二階矩以內）決定，所以只需保證二階以內統計特性不隨時間變化而變化即可。它的定義如下：

對於時間序列，如果滿足以下三個條件：

• 均值是常數，與時間 無關，即

• 方差是常數，與時間 無關，即

• 自協方差只與時間間隔 有關，與時間的起始位置 無關，即

則該時間序列是寬平穩的，該隨機過程是平穩隨機過程。

均值是一階矩，描述符合某種分佈的隨機變數的取值，總是在某個值周圍波動。

方差是二階矩，描述了這種波動的大小程度或者離散程度。

自協方差也是二階矩，是一種特殊的協方差，是時間和時間本身的特殊協方差。普通的協方差是，自協方差是，本質是一樣的。

協方差描述兩個變數之間的變動關係，關於協方差的理解可以參考這篇文章：如何通俗的理解協方差、相關係數？

平穩時間序列

白噪聲

白噪聲是最簡單的平穩過程（純隨機過程）記作 ，定義如下：

也就是均值為0，方差為，協方差為0（無自相關性）的序列

用Python程式碼能生成一個白噪聲序列：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

white_noise = np.random.standard_normal(size=500)
plt.figure(figsize=(15, 8))
plt.plot(white_noise)
plt.show()

上圖可以看到時序前後沒有任何聯絡（白噪聲的自協方差是0，取值是完全隨機的），因此對於我們想要透過歷史時序資料預測未來是行不通的，不具有分析的價值。只有當序列平穩且非白噪聲時，應用分析方法才有意義。

非白噪聲

另一種就是非白噪聲平穩時間序列，雖然現實中平穩序列不常見，但經過一些處理後也可以變成平穩的非白噪聲序列。

import numpy as np
import pandas as pd
from matplotlib import pyplot as plt

df=pd.read_excel('data.xlsx',engine='openpyxl')
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.show()

上圖來自真實資料，雖然波動不完全相同，但從均值、方差大體來看是平穩的。當然關於時間序列平穩性檢測除肉眼觀察還有一些量化的方法，會在後續介紹。

非平穩時間序列

現實世界大多數時間序列都是非平穩的，但可以透過差分、取對數等方法轉化成平穩時間序列，但如果不能轉化也就意味著不能使用平穩時間序列分析方法了。

大部分股票的收盤價資料就是非平穩的，以A股上某一隻股票2020-2022年的收盤價資料為例，肉眼看上去走勢無明顯規律，且不同時段波動很大，基本可以認為是一個非平穩的時間序列。

import pandas as pd
import akshare as ak
from matplotlib import pyplot as plt

df = ak.stock_zh_a_hist(symbol="601800", start_date="20200101", end_date='20221231')
df = df.set_index('日期')
df.index = pd.to_datetime(df.index)

close = df['收盤'].astype(float)
close = close[::-1]

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(close)
plt.show()

隨機遊走

非平穩時序中有一種特殊的時序叫隨機遊走，定義為：

，其中的 是均值為0的白噪聲。

透過公式我們能看出，隨機遊走是時序資料的不斷累加形成的，累加的是白噪聲，即一階差分 ，而白噪聲是純隨機的，因此隨機遊走和白噪聲一樣，其未來趨勢也是無法預測的。

下面用Python生成的兩個隨機遊走圖形感受下。

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

np.random.seed(6)

def random_walk():
    steps = np.random.standard_normal(size=500)
    steps[0] = 0
    walk = np.cumsum(steps)
    return walk
    
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(random_walk())
plt.plot(random_walk())
plt.show()

上圖兩個隨機遊走曲線都是純隨機生成的，因為固定了seed所以再執行程式碼會保持這個圖形，但如果把seed註釋掉再執行圖形又是一個新的隨機曲線了。為了增加對隨機遊走的理解，下面用一個經典的賭徒輸光例子來解釋下。

賭徒輸光是說如果一個賭徒去賭，大機率會輸光，有什麼依據嗎？假設一個專案的勝率是50%，現在我們將每一次的輸贏作為一個隨機變數，兜裡的錢會隨著每次輸贏而變化，此時兜裡的錢就服從隨機遊走模型。我們來模擬幾種不同的結果，最差的情況是如果運氣不好10賭8輸，隨機遊走曲線會很快下降到賭徒底線，兜裡的錢全輸光；如果此時運氣好10賭8贏，隨機遊走曲線向上，莊家給錢賭徒小賺，此刻及時止盈還是賺的；但賭徒不會止盈還會繼續玩下去，出於隨機性的輸贏結果，曲線遲早會到賭徒底線；如果曲線上升到莊家的上線，莊家給錢關門倒閉，但這種情況幾乎不會發生，因為莊家的錢是無限多的，至少比玩家多得多。所以按照50%的勝率下，賭徒是不可能贏錢的，因為隨機遊走曲線會以更大的機率先到達賭徒的底線。

為什麼需要平穩性？

預測更容易更可靠

如前面寬平穩定義，滿足三個條件，均值、方差都是常數，自協方差不隨時間變化只與時間間隔k有關。如果一個時序是寬平穩的，那麼時序本身肯定是存在某種分佈規律的，前後具有一定自相關性且能夠延續下去，利用這些資訊預測未來資料才更可靠。

平穩時序預測相對非平穩預測方法更容易。這就是為什麼即使時序是不平穩的，一般也要先透過差分、取對數等方法轉化成平穩時間序列再進行分析。

極大降低分析難度

上篇文章 時間序列基本概念、任務、預測方法 提到，時間序列中每個時刻 都可以認為是一個隨機變數，它們都有自己的分佈。但時間不能倒流，因而每個隨機變數 就只有一個觀測值。

這樣就會造成一個問題，由於每個分佈只有一個觀測值，資料過少導致無法研究分佈的性質。但是透過平穩性，從不同時刻的分佈之間發現內在關聯，可以緩解由於樣本容量少導致的估計精度低的問題。

現在有一組時間序列 5個時序點，每個時點都只有一個觀測值，按數理統計分析來講，此時樣本很少是無法進行分析的。

如果現在判斷出該時序是滿足寬平穩的時間序列，可知該時序均值 是個常數，即每個時點隨機變數均值都為 。此時就可以認為這5個觀測值都變成了常數 的樣本觀測值，即 ，於是透過以上5個樣本觀測值可估算出均值

上面的一行觀測樣本現在轉變成以下形式，每個時點的觀測值互為補充其他時點的觀測值，或者可以理解為 合併為一個均值為 的隨機變數了。

這樣做就可以極大的減少了隨機變數的個數，同時增加了待估變數的樣本容量，降低了分析的難度，二階矩方差和協方差也同理，感興趣可以參考[1]

參考連結

[1].《應用時間序列分析》-王燕
[2].https://mp.weixin.qq.com/s/ZnQA-wUndDLKfM08Y6ZlEA [3].https://mp.weixin.qq.com/s/-WAnD9ZXEDezy0Adrw11xw [4].