正態隨機過程

1.定義

• 隨機過程 $X(t)$ 的任意 $n$ 維（任取 $n$ 個時間點）聯合概率分佈都是正態分佈就說 $X(t)$ 為正態隨機過程。
• 一個結論：對正態過程來說廣義平穩與嚴格平穩是等價的。

2.概率密度

                            p n ( X ) = 1 ( 2 π ) n ∣ ∑ ∣ e x p { 1 2 ( X − μ ) T ∑ − 1 ( X − μ ) } ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~p_n(\boldsymbol{X}) = \dfrac{1}{\sqrt{(2\pi)^n|\sum|}}exp\{\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^T\sum^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})\}                            pn​(X)=(2π)n∣∑∣ ​1​exp{21​(X−μ)T∑−1(X−μ)}
 
        ~~~~~~~        其中 $\mu$ 表示均值，$c_{ij}$ 表示協方差，$r_{ij}$ 表示相關係數。
$$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\mathbf{\mu }=\left[\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\\ ⋮\\ {\mu }_n\end{array}\right]\sum =\left[\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right]$$
$$c_{ii}={\sigma }_i^2，c_{ij}={\sigma }_i{\sigma }_j{r}_{ij}$$

• 一個重要的公式：$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{x}$$

3.特徵函式

$${\Phi }_X(\mathbf{\omega })=exp(j{\mathbf{\omega }}^T\mathbf{\mu }-\frac{1}{2}{\mathbf{\omega }}^T\sum \mathbf{\omega })$$
$$\mathbf{\omega }=[{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n]$$

平穩隨機過程的譜分析

1.能量譜與功率譜

• 能量頻譜密度：$|S(\omega ){|}^2$，表示訊號的各個分量能量在頻域上的分佈。
• 訊號總能量等於各頻譜分量的能量之和。
  $$E={\int }_{-\infty }^{\infty }|s(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|S(\omega ){|}^{2}d\omega$$
• 功率譜密度（對一個函式 $X(\omega )$）：$$G(\omega )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{|X(\omega ){|}^2}{2T}$$

2.功率譜密度與相關函式的關係

兩者是一對傅立葉變換
$$\begin{array}{cc}{G}_X(\omega )& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_X(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \\ & \\ R_X(\tau )& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{G}_X(\omega )e^{j\omega \tau }d\tau \end{array}$$

白噪聲

• 定義：均值為零、功率譜密度在無限寬的頻域內為常量。
• 相關函式和功率譜密度分別為：
  $$\begin{array}{c}{G}_X(\omega )=\frac{N_0}{2}(-\infty <\omega <\infty )\\ \\ R_X(\tau )=\frac{N_0}{2}\delta (\tau )\end{array}$$
• 相關係數：
  $$r(\tau )=\{\begin{array}{c}1\tau =0\\ 0\tau \ne 0\end{array}$$
• 相關時間：
  $${\tau }_0={\int }_0^{\infty }r(\tau )d\tau =0$$
  相關時間為零說明白噪聲的變化非常快，並且任意兩個時刻都沒有相關性。