前言
又是隨機遊走？
題目分析
看到加邊，可能性太多了。但是為了讓步數最大化，我們可以貪心地想，肯定要往前面連，而且越前面要走的期望步數肯定越大。並且，我們不會浪費邊在終點上。於是，題目轉變成了 \(1 \sim n - 1\) 連向起點 \(1\) 連若干條邊，使得隨機遊走到終點的期望步數最大。
那要如何分配這 \(m\) 條邊到 \(1 \sim n - 1\) 個點呢？考慮假設已知第 \(i\) 個點向 \(1\) 連了 \(d_i\) 條邊，求期望步數。設 \(f_i\) 為到了 \(i\)，還要期望多少步走到終點，顯然 \(f_n = 0\)。開始喜聞樂見的推式子環節：
\[\large f_i = \cfrac{1}{d_i + 1}f_{i+1} + \cfrac{d_i}{d_i + 1}f_1+1
\]
從 \(n-1\) 向前遞推。
\[\begin{aligned}
\large f_{n-1} &= \cfrac{1}{d_{n-1} + 1}f_{n-1+1} + \cfrac{d_{n-1}}{d_{n-1} + 1}f_1+1 \\
&= \cfrac{d_{n-1}}{d_{n-1} + 1}f_1+1
\end{aligned}
\]
推到 \(n-2\)。
\[\begin{aligned}
\large f_{n-2} &= \cfrac{1}{d_{n-2} + 1}f_{n-1} + \cfrac{d_{n-2}}{d_{n-2} + 1}f_1 + 1 \\
&= \cfrac{1}{d_{n-2} + 1} \cdot \left(\cfrac{d_{n-1}}{d_{n-1} + 1}f_1 + 1\right) + \cfrac{d_{n-2}}{d_{n-2} + 1}f_1 + 1\\
&= \cfrac{1}{d_{n-2} + 1} \cdot \cfrac{d_{n-1}}{d_{n-1} + 1}f_1 + \cfrac{d_{n-2}}{d_{n-2} + 1}f_1 + \cfrac{1}{d_{n-2} + 1} + 1 \\
&= \cfrac{d_{n-1} + d_{n-2} \cdot (d_{n-1}+1)}{(d_{n-2} + 1) \cdot (d_{n-1} + 1)} f_1 + \cfrac{(d_{n - 2} + 1) + 1}{d_{n-2} + 1} \\
&= \cfrac{(d_{n-2} + 1) \cdot (d_{n-1}+1) - 1}{(d_{n-2} + 1) \cdot (d_{n-1} + 1)} f_1 + \cfrac{(d_{n - 2} + 1) + 1}{d_{n-2} + 1}
\end{aligned}
\]
再推到 \(n-3\)。
\[\begin{aligned}
f_{n-3} =& \cfrac{1}{d_{n-3} + 1}f_{n-2} + \cfrac{d_{n-3}}{d_{n-3} + 1}f_1+1 \\
=& {\scriptsize \cfrac{1}{d_{n-3} + 1}\left(\cfrac{(d_{n-2} + 1) \cdot (d_{n-1}+1) - 1}{(d_{n-2} + 1) \cdot (d_{n-1} + 1)} f_1 + \cfrac{(d_{n - 2} + 1) + 1}{d_{n-2} + 1}\right) + \cfrac{d_{n-3}}{d_{n-3} + 1}f_1+1} \\
=& {\scriptsize \cfrac{(d_{n-2} + 1) \cdot (d_{n-1}+1) - 1}{(d_{n-3} + 1) \cdot (d_{n-2} + 1) \cdot (d_{n-1} + 1)} f_1 + \cfrac{(d_{n - 2} + 1) + 1}{(d_{n-3} + 1) \cdot (d_{n-2} + 1)} + \cfrac{d_{n-3}}{d_{n-3} + 1}f_1+1} \\
=& {\scriptsize \cfrac{d_{n-3} \cdot (d_{n-2} + 1) \cdot (d_{n-1} + 1) + (d_{n-2} + 1) \cdot (d_{n-1}+1) - 1}{(d_{n-3} + 1) \cdot (d_{n-2} + 1) \cdot (d_{n-1} + 1)} f_1 + } \\
& {\scriptsize \cfrac{(d_{n-3} + 1) \cdot (d_{n-2}+1) + (d_{n - 2} + 1) + 1}{(d_{n-3} + 1) \cdot (d_{n-2}+1)}} \\
=& {\scriptsize \cfrac{(d_{n-3} + 1) \cdot (d_{n-2} + 1) \cdot (d_{n-1} + 1) - 1}{(d_{n-3} + 1) \cdot (d_{n-2} + 1) \cdot (d_{n-1} + 1)} f_1 + \cfrac{(d_{n-3} + 1) \cdot (d_{n-2}+1) + (d_{n - 2} + 1) + 1}{(d_{n-3} + 1) \cdot (d_{n-2}+1)}}
\end{aligned}
\]
找到一些規律，嘗試去證明。假設對於 \(i+1\) 滿足：
\[
\large f_{i+1} = \cfrac{\prod \limits _ {j=i+1}^{n-1} (d_j+1)-1}{\prod \limits _ {j=i+1}^{n-1} (d_j+1)}f_1 + \cfrac{\sum \limits _ {j=i+1} ^ {n-2} \prod \limits _ {k=j} ^ {n-2}(d_k+1) + 1}{\prod \limits _ {j=i+1} ^ {n-2} (d_j+1)}
\]
顯然該式對於 \(n-1\) 成立。嘗試用歸納法推到 \(i\)。
\[
\begin{aligned}
f_i &= {\scriptsize \cfrac{1}{d_i + 1}\left(\cfrac{\prod \limits _ {j=i+1}^{n-1} (d_j+1)-1}{\prod \limits _ {j=i+1}^{n-1} (d_j+1)}f_1 + \cfrac{\sum \limits _ {j=i+1} ^ {n-2} \prod \limits _ {k=j} ^ {n-2}(d_k+1) + 1}{\prod \limits _ {j=i+1} ^ {n-2} (d_j+1)}\right) + \cfrac{d_i}{d_i + 1}f_1+1 } \\
&= {\scriptsize \cfrac{\prod \limits _ {j=i+1}^{n-1} (d_j+1)-1}{\prod \limits _ {j=i}^{n-1} (d_j+1)}f_1 + \cfrac{\sum \limits _ {j=i+1} ^ {n-2} \prod \limits _ {k=j} ^ {n-2}(d_k+1) + 1}{\prod \limits _ {j=i} ^ {n-2} (d_j+1)} + \cfrac{d_i}{d_i + 1}f_1+1} \\
&= {\scriptsize \cfrac{\prod \limits _ {j=i}^{n-1} (d_j+1)-1}{\prod \limits _ {j=i}^{n-1} (d_j+1)}f_1 + \cfrac{\sum \limits _ {j=i} ^ {n-2} \prod \limits _ {k=j} ^ {n-2}(d_k+1) + 1}{\prod \limits _ {j=i} ^ {n-2} (d_j+1)}}
\end{aligned}
\]
所以上式對於所有 \(i\) 均成立。考慮邊界，推到 \(i=1\) 的時候是一個方程。
\[
f_1 = \cfrac{\prod \limits _ {j=1}^{n-1} (d_j+1)-1}{\prod \limits _ {j=1}^{n-1} (d_j+1)}f_1 + \cfrac{\sum \limits _ {j=1} ^ {n-2} \prod \limits _ {k=j} ^ {n-2}(d_k+1) + 1}{\prod \limits _ {j=1} ^ {n-2} (d_j+1)}
\]
解方程。
\[
{\scriptsize \left( \prod \limits _ {j=1}^{n-1} (d_j+1) \right)f_1 = \left (\prod \limits _ {j=1}^{n-1} (d_j+1)-1\right)f_1 + (d_{n-1} + 1)\left({\sum \limits _ {j=1} ^ {n-2} \prod \limits _ {k=j} ^ {n-2}(d_k+1) + 1}\right)}
\]
\[
f_1 = {\sum \limits _ {j=1} ^ {n-2} \prod \limits _ {k=j} ^ {n-1}(d_k+1) + (d_{n-1}+1)}
\]
\[
\large f_1 = \sum \limits _ {j=1} ^ {n-1} \prod \limits _ {k=j} ^ {n-1}(d_k+1)
\]
於是我們可以很方便地求出期望步數，即 \(f_1\)。但是我們還是不知道最優的 \(d\) 如何分配，考慮打表找規律。在此之前，我們不妨試著找一找 \(d\) 的性質。
首先，\(d\) 一定是單調不降的。因為顯然，放在後面會給更多的 \(\prod\) 提供貢獻，從而使 \(f_1\) 更大。
其次……沒其次了，打表吧。
while True:
n, m = map(int, input().split())
res = [0] * n
ans = [0] * n
maxx = 0
def dfs(now, tot, x):
global maxx, ans
if now == n - 1:
res[n - 1] = tot
tmp = 0
mul = 1
for i in range(n - 1, 0, -1):
mul *= res[i] + 1
tmp += mul
if tmp > maxx:
maxx = tmp
ans = res[::]
return
i = x
while i * (n - now) <= tot:
res[now] = i
dfs(now + 1, tot - i, i)
i += 1
dfs(1, m, 0)
print(' '.join(map(str, ans[1:])))
以上是打表程式。考慮 \(n=20\) 時，不斷加邊對最優 \(d\) 的分配造成的影響。
m = 1: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
m = 2: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
......
m = 18: 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
m = 19: 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
m = 20: 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
......
m = 35: 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
m = 36: 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
m = 37: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
m = 38: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
......
m = 54: 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
m = 55: 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
m = 56: 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
m = 57: 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
......
發現，當 \(m < n - 1\) 時，加邊是從 \(n-1\) 開始放到 \(2\)，然後當 \(m \geq n - 1\) 時，從 \(n-1\) 開始放到 \(1\)，如此往復。感性理解，具體證明交給讀者。
那麼，我們分別考慮兩種情況即可。
情況一
當 \(m < n - 1\) 時，邊集中在 \(n - m \sim n - 1\)，其他位置 \(d\) 均為 \(0\)。此時有 $f_1 = $。