二分查詢插入點
二分查詢不僅可用於搜尋目標元素，還可以解決許多變種問題，比如搜尋目標元素的插入位置。
無重複元素情況
Question
給定一個長度為n的有序陣列nums和一個元素target，陣列不存在重複元素。現將target插入陣列nums中，並保持其有序性。若陣列中已存在元素target，則插入到其左方。請返回插入後target在陣列中的索引。
問題一：當陣列中包含target時，插入點的索引是否就是該元素的索引？
題目要求將target插入到相等元素的左邊，這意味著插入的target替換了原來target的位置。也就是說，當陣列包含target時，插入點的索引就是該target的索引。
問題二：當陣列中不存在target時，插入點是哪個元素的索引？
進一步思考二分查詢過程（m為中點索引）：當nums[m] < target時，這意味著指標i在向大於等於target的元素靠近。同理，指標j始終在向小於等於target的元素靠近。
因此二分結束時一定有：i指向首個大於target的元素，j指向首個小於target的元素。易得當陣列不包含target時，插入索引為i。
程式碼示例如下：
/*二分查詢插入點（無重複元素）*/
int binarySearchInsertionSimple(vector<int> &nums, int target){
int i = 0, j = nums.size() - 1;
while (i <= j){
int m = i + (j - i) / 2;
if (nums[m] < target)
i = m + 1;
else if (nums[m] > target)
j = m - 1;
else
return m; // 找到target 返回插入點 m
}
return i; // 未找到 target，返回插入點 i
}
存在重複元素的情況
假設陣列中存在多個target，則普通二分查詢只能返回其中一個target的索引，而無法確定該元素的左邊和右邊還有多少個target。
題目要求將目標元素插入到最左邊，所以我們需要查詢陣列中最左一個target的索引。
實現步驟：
- 執行二分查詢，得到任意一個
target索引，記為k。 - 從索引k開始，向左進行線性遍歷，當找到最左邊的
target時返回。
此方法雖然可用，但其包含線性查詢，因此時間複雜度為O(n)。當陣列中存在很多重複的target時，該方法效率很低。
現考慮擴充二分查詢程式碼。如圖所示，整體流程保持不變，每輪現計算中點索引m，再判斷target和nums[m]的大小關係，分以下幾種情況：
- 當
nums[m] < target或nums[m] > target時，說明還沒有找到target，因此採用普通二分查詢的縮小區間操作，從而使指標i和j向target靠近。 - 當
nums[m] == target時，說明小於target的元素在區間[i,m-1]中，因此採用j = m-1來縮小區間，從而使指標j向小於target的元素靠近。
迴圈完成後，i指向最左邊的target，j指向首個小於target的元素，因此索引i就是插入點。
觀察以下程式碼，其中判斷分支nums[m] > target和nums[m] == target的操作相同，因此兩者可以合併。即便如此，我們仍然可以將判斷條件保持展開，因為邏輯更加清晰、可讀性更好。
/*二分查詢插入點（存在重複元素）*/
int binarySearchInsertion(vector<int> &nums, int target){
int i = 0, j = nums.size() - 1;
while (i <= j){
int m = i + (j - 1) / 2;
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
else
j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
}
// 返回插入點
return i;
}
總的看來，二分查詢無非就是給指標i和j分別設定搜尋目標，目標可能是一個具體元素（例如target），也可能是一個元素範圍（如小於target的元素）。
在不斷的迴圈二分中，指標i和j都逐漸逼近預先設定的目標。