資料結構和演算法之——二分查詢上

二分查詢（Binary Search）的思想非常簡單，但看似越簡單的東西往往越難掌握好，想要靈活運用就更加困難。

1. 二分查詢的思想？

生活中二分查詢的思想無處不在。一個最常見的就是猜數遊戲，我隨機寫一個 0 到 99 的數，然後你來猜我寫的是什麼。猜的過程中，我會告訴你每次是猜大了還是猜小了，直到猜中為止。假如我寫的數是 23，猜數過程如下所示。

最多隻需要 7 次就猜出來了，這個過程是很快的。同理，要查詢某個資料是否在給定的陣列中，我們同樣也可以利用這個思想。

二分查詢針對的是一個有序的資料集合，查詢思想有點類似於分治，每次都通過和中間元素進行比較，將待查詢區間縮小為之前的一半，直到找到要查詢的元素或者區間縮小為 0 為止。

2. 二分查詢的時間複雜度？

我們假設資料大小為 n，每次查詢資料大小都會縮小為原來的一半，最壞情況下，直到查詢區間縮小為空時停止查詢。

若經過 k 次區間縮小最後變為空，則 $\frac{n}{2^k} = 1, k = log_2n$，所以二分查詢的時間複雜度為 $O(logn)$。

這種對數時間複雜度的演算法是一種非常高效的演算法，有時候甚至比時間複雜度為常量級的演算法還要高效。因為常量級的時間複雜度對應的常數可能非常大，比如 O(100), O(1000)，因此這些演算法有時候可能還沒有 $O(logn)$ 的演算法執行效率高。

2. 簡單二分查詢的演算法實現？

迴圈法

float Binary_Search(float data[], int left, int right, float value)
{
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (value == data[mid])
        {
            return mid;
        }
        else if (value < data[mid])
        {
            right = mid - 1;
        }
        else
        {
            left = mid + 1;
        }
    }

    return -1;
}

遞迴法

float Binary_Search(float data[], int left, int right, float value)
{
    if (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (value == data[mid])
        {
            return mid;
        }
        else if (value < data[mid])
        {
           return Binary_Search(data, left, mid-1, value);
        }
        else
        {
            return Binary_Search(data, mid+1, right, value);
        }
    }

    return -1;
}

注意事項

• 迴圈退出條件 left <= right
• mid = left + ((right-left) >> 1)，用移位運算優化計算效能
• left 和 right 的更新分別是 mid+1 和 mid-1

3. 二分查詢的應用場景？

二分查 找依賴的是順序表結構，也就是陣列，需要能夠按照下標隨機訪問元素。

二分查詢針對的是有序資料，如果資料無序，需要先進行排序。而如果有頻繁的插入、刪除操作，則每次查詢前都需要再次排序，這時候，二分查詢將不再適用。

資料量太小可以直接遍歷查詢，沒有必要用二分查詢。但如果資料之間的比較操作非常耗時，比如資料為長度超過 300 的字串，則不管資料量大小，都推薦使用二分查詢。

而如果資料量過大，則意味著我們需要用非常大的連續記憶體空間來儲存這些資料，記憶體開銷可能無法滿足。

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