資料結構和演算法之——跳錶

之前我們知道，二分查詢依賴陣列的隨機訪問，所以只能用陣列來實現。如果資料儲存在連結串列中，就真的沒法用二分查詢了嗎？而實際上，我們只需要對連結串列稍加改造，就可以實現類似“二分”的查詢演算法，這種改造之後的資料結構叫作跳錶（Skip List）。

1. 何為跳錶？

對於一個單連結串列，即使連結串列是有序的，如果我們想要在其中查詢某個資料，也只能從頭到尾遍歷連結串列，這樣效率自然就會很低。

假如我們對連結串列每兩個結點提取一個結點到上一級，然後建立一個索引指向原始結點，如下圖所示。

這時候，我們要查詢某一個資料的時候，就可以先在索引裡面查詢出一個大的範圍，然後再下降到原始連結串列中精確查詢。

比如，我們要查詢 16，我們發現 16 位於 13 和 17 之間，這時候，我們就從 13 的地方下降到原始連結串列，然後再往後查詢。原來我們查詢 16，需要遍歷 10 個結點，現在只需要遍歷 7 個結點。

我們發現，加一層索引後，查詢一個結點需要遍歷的次數減少了，也就是查詢效率提高了。

那麼我們再多加一級索引呢？效果會不會有更大提升？

這一次，我們只需要遍歷 6 個結點了。

資料量不大的時候這種方法可能效率提高得還不是很明顯，下面看一個包含 64 個結點的例子，這次我們建立了五級索引。

查詢 62 的時候原來需要遍歷 62 次，現在只需要 11 次即可。針對連結串列長度比較大的時候，構建索引查詢效率的提升就會非常明顯。

2. 跳錶查詢的分析？

如果連結串列中總共有 $n$ 個結點，那麼第一級索引就有 $\frac{n}{2}$ 個結點，第二級索引就有 $\frac{n}{4}$ 個結點，以此類推，那麼第 $k$ 級索引就有 $\frac{n}{2^k}$ 個結點。如果最高階索引有 2 個結點，那總的索引級數 $k = log_2n - 1$，如果我們算上原始連結串列的話，那也就是總共有 $log_2n$ 級。

在第 $k$ 級索引中，假設我們要查詢的資料為 $x$，當我們查詢到 $y$ 結點時，發現 $y < x < z$ 時此時我們就要下降到 $k-1$ 級索引繼續查詢。在第 $k-1$ 級索引中，$y$ 和 $z$ 之間只有三個結點，因此，我們最多隻需要查詢 3 個結點。以此類推，每一級的索引最多都只需要遍歷 3 個結點。

而總的級別數為 $log_2n$，因此查詢的時間複雜度就為 $3* log_2n = logn$。跳錶查詢的時間複雜度和二分查詢一樣，但這其實是以空間來換時間的設計思路。

跳錶的所有額外索引結點總數為 $\frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \frac{n}{8} + ... + 4 + 2 = n-2$，所以跳錶的空間複雜度為 $O(n)$。

但如果我們每三個結點建立一個索引，這時候額外需要的結點總數為 $\frac{n}{2}$，雖然空間複雜度依然為 $O(n)$，但減少了一半的索引節點儲存空間。

實際上，在實際開發中，原始連結串列中儲存的可能是很大的物件，而索引結點只需要儲存關鍵值和幾個指標，其額外佔用的空間可以被忽略掉。

3. 跳錶高效的動態插入和刪除？

在連結串列中，如果我們知道要插入資料的位置，那麼插入的時間複雜度就為 $O(1)$。在跳錶中，查詢的時間複雜度為 $O(logn)$，因此，動態插入資料的時間複雜度也就是 $O(logn)$ 了。

從連結串列中刪除結點的時候，如果結點在索引中也有出現，那麼我們除了要刪除原始連結串列中的結點，還要刪除索引中的。

當我們不停地往跳錶中插入資料的時候，如果我們不更新索引，就有可能出現某兩個結點之間資料非常多的情況。極端情況下，跳錶還會退化為單連結串列。

因此，我們需要某種手段來維護索引與原始連結串列大小之間的平衡，也就是說，如果連結串列結點變多了，索引值就相應地增加一些。

當我們往跳錶中插入資料的時候，我們可以選擇同時也將這個資料插入到部分索引層中。而插入到哪些索引層中，則由一個隨機函式生成一個隨機數字來決定。如果這個數字為 K，那我們就將資料插入到第一級到第 K 級索引中。

4. 為什麼 Redis 要用跳錶來實現有序集合而不是紅黑樹？

Redis 中的有序集合支援的核心操作主要有以下幾個：

• 插入一個資料
• 刪除一個資料
• 查詢一個資料
• 按照區間查詢資料
• 迭代輸出有序序列

其中，插入、刪除、查詢以及迭代輸出有序序列這幾個操作，紅黑樹也可以完成，時間複雜度和跳錶是一樣的。

但是，按照區間查詢資料這個操作，紅黑樹的效率沒有跳錶高。跳錶可以在 $O(logn)$ 時間複雜度定位區間的起點，然後在原始連結串列中順序向後查詢就可以了，這樣非常高效。

此外，相比於紅黑樹，跳錶還具有程式碼更容易實現、可讀性好、不容易出錯、更加靈活等優點，因此 Redis 用跳錶來實現有序集合。

參考資料-極客時間專欄《資料結構與演算法之美》

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