資料結構與演算法-跳錶《八》

一、什麼是跳錶？

為一個值有序的連結串列建立多級索引，比如每2個節點提取一個節點到上一級，我們把抽出來的那一級叫做索引或索引層。如下圖所示，其中down表示down指標，指向下一級節點。以此類推，對於節點數為n的連結串列，大約可以建立log2n-1級索引。像這種為連結串列建立多級索引的資料結構就稱為跳錶。

二、跳錶的時間複雜度？

1. 計算跳錶的高度
   如果連結串列有n個節點，每2個節點抽取抽出一個節點作為上一級索引的節點，那第1級索引的節點個數大約是n/2，第2級索引的節點個數大約是n/4，依次類推，第k級索引的節點個數就是n/(2^{k)。假設索引有h級別，最高階的索引有2個節點，則有n/(2}h)=2，得出h=log2n-1，包含原始連結串列這一層，整個跳錶的高度就是log2n。
2. 計算跳錶的時間複雜度
   假設我們在跳錶中查詢某個資料的時候，如果每一層都遍歷m個節點，那在跳錶中查詢一個資料的時間複雜度就是O(m*logn)。那這個m是多少呢？如下圖所示，假設我們要查詢的資料是x，在第k級索引中，我們遍歷到y節點之後，發現x大於y，小於後面的節點z，所以我們通過y的down指標，從第k級下降到第k-1級索引。在第k-1級索引中，y和z之間只有3個節點（包含y和z），所以，我們在k-1級索引中最多隻需要遍歷3個節點，以此類推，每一級索引都最多隻需要遍歷3個節點。所以m=3。因此在跳錶中查詢某個資料的時間複雜度就是O(logn)。

三、跳錶的空間複雜度及如何優化？

1. 計算索引的節點總數
   如果連結串列有n個節點，每2個節點抽取抽出一個節點作為上一級索引的節點，那每一級索引的節點數分別為：n/2，n/4，n/8，…，8，4，2，等比數列求和n-1，所以跳錶的空間複雜度為O(n)。
2. 如何優化時間複雜度
   如果連結串列有n個節點，每3或5個節點抽取抽出一個節點作為上一級索引的節點，那每一級索引的節點數分別為（以3為例）：n/3，n/9，n/27，…，27，9，3，1，等比數列求和n/2，所以跳錶的空間複雜度為O(n)，和每2個節點抽取一次相比，時間複雜度要低不少呢。

四、高效的動態插入和刪除？

跳錶本質上就是連結串列，所以僅插作，插入和刪除操時間複雜度就為O(1)，但在實際情況中，要插入或刪除某個節點，需要先查詢到指定位置，而這個查詢操作比較費時，但在跳錶中這個查詢操作的時間複雜度是O(logn)，所以，跳錶的插入和刪除操作的是時間複雜度也是O(logn)。

五、跳錶索引動態更新？

當往跳錶中插入資料的時候，可以選擇同時將這個資料插入到部分索引層中，那麼如何選擇這個索引層呢？可以通過隨機函式來決定將這個節點插入到哪幾級索引中，比如隨機函式生成了值K，那就可以把這個節點新增到第1級到第K級索引中。