關於二叉樹

二叉樹

滿二叉樹

一顆深度為 \(k\) 且有 \(2^k-1\) 個節點的二叉樹，每一層上的檢點樹都是最大值。

每層節點數量

第一層：\(2^{1-1}\) 個點，即 \(2^0 = 1\) 個點。
第二層：\(2^{2-1}\) 個點，即 \(2^1 = 2\) 個點。
第三層：\(2^{3-1}\) 個點，即 \(2^2 = 4\) 個點。
第 \(i\) 層：\(2^{i-1}\) 個點。

一共點的數量

深度為 \(h\) 有 \(2^k-1\) 個節點。

證明

基礎情況：當 \(h = 1\) 時，滿二叉樹只有一個節點（根節點），即 \(n = 2^1 - 1 = 1\) 。這是正確的，因為只有一個節點。

歸納假設：假設對於所有高度小於 \(h\) 的滿二叉樹，節點數公式都是正確的，即對於任意 \(k < h\)，有 \(n = 2^k - 1\)。

歸納步驟：現在我們需要證明當 \(h = k + 1\) 時，公式也成立。對於高度為 \(h = k + 1\) 的滿二叉樹，我們可以將其看作是兩個高度為 \(k\) 的滿二叉樹的根節點連線而成。每個高度為 \(k\) 的滿二叉樹有 \(2^k - 1\) 個節點。

因此，高度為 \(h = k + 1\) 的滿二叉樹的總節點數 \(n\) 可以表示為：

$ n = (2^k - 1) + (2^k - 1) + 1 $

因為根節點有兩個子樹，每個子樹有 \(2^k - 1\) 個節點，再加上根節點本身，所以總節點數是 \(2 \times (2^k - 1) + 1\)。

簡化這個表示式：

\[n = 2 \times 2^k - 2 + 1\\ n = 2^{k+1} - 1 \]

這正是我們需要的公式。因此，透過數學歸納法，我們證明了對於任意高度 \(h\) 的滿二叉樹，其節點數 \(n\) 都滿足 $ n = 2^h - 1$。

完全二叉樹

完全二叉樹 : 深度為 \(k\) 的，有 \(n\) 個結點的二叉樹，當且僅當其每一個結點都與深度為 \(k\) 的滿二叉樹中編號從 \(1\) 至 \(n\) 的結點一一對應 (特點: 至多隻有最下面兩層的結點的度可以小於 \(2\), 且倒二層如果只有一個孩子，那必是左孩子。)