關於樹（圖論初步）

你的小垃圾發表於2022-03-24

圖論

今天學了關於樹的最最最最基本的有關概念和性質，做一下簡單的記錄：

首先，樹是什麼？？？

其實簡單點來說，樹就相當於一個元素之間有確定關係的集合。其中每個元素都是一個結點，他們兩兩以特定的方式連線並相互關聯，而樹就是由遞迴定義與實現的。例如，下圖就是一個典型的樹：

其中，元素1~9都是結點，而1上面沒有結點與它連線，所以它就是一個特殊的結點——樹根。

除了根結點，其他的結點能分成很多個互不相交的有限集合，而其中的幾個互相連線的結點元素就可以組成一棵子樹。

每一個結點的子樹的個數，叫做這個結點的度，其實這個結點連線的有幾個子結點它的度就是幾，比如圖中的4，他就有1個子節點，所以它的度就是1，而3下面沒有跟它連線的子結點，所以它的度就是0。

特別的，如果這個結點的度是0，那這個結點就叫做葉節點，如圖中的5,6,3,8,9就都是葉結點。

上面的結點是下面結點的父節點，下面的是上面的子結點，有相同父節點的子結點互為兄弟結點。

下面來道水題練練手：

要求先輸入兩個數 n、m，表示一棵樹的結點數和邊數，再輸入m行，每行輸入一個父節點 x 和一個x的子結點 y。現在要求輸出樹根，子結點最多的結點和此節點的子結點。（資料範圍忽略）

思路其實就是桶的思想，先輸入每個x和y，並記錄y的父節點x。全部輸入完之後再判斷，如果沒有父節點，那這個點就是樹根。最後再用一個迴圈巢狀遍及每一個結點，記錄他子結點的個數，找出最大值就好了。

程式碼如下：

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int n,m;
 4 int tree[100]={0};//記錄父節點 
 5 int ans,sum,maxn;
 6 int main()
 7 {
 8     int x,y;
 9     scanf("%d%d",&n,&m);
10     for(int i=1;i<=m;i++){
11         scanf("%d%d",&x,&y);
12         tree[y]=x;
13     }
14     for(int i=1;i<=m;i++){
15         if(tree[i]==0){
16             printf("%d\n",i);
17             break;
18         }
19     }
20     for(int i=1;i<=n;i++){
21         sum=0;
22         for(int j=1;j<=n;j++){
23             if(tree[j]==i) sum++;
24             if(sum>maxn){
25                 maxn=sum;
26                 ans=i;
27             }
28         }
29     }
30     printf("%d\n",ans);
31     for(int i=1;i<=n;i++){
32         if(tree[i]==ans){
33             printf("%d ",i);
34         }
35     }
36     return 0;
37 }

關於樹的遍歷，有好幾種：

1、先序遍歷：先訪問根結點，再從左往右的訪問每一棵子樹，與DFS相似，在上圖中遍歷順序就是125634789

2、後續遍歷：先從左到右先遍歷每一棵子樹，最後訪問根結點，在上圖中遍歷的順序就是562389741

3、層次遍歷：一層一層地遍歷，在圖上遍歷的順序就是123456789

4、葉結點遍歷：上圖按照這個思想訪問的結果為：56389；

5、中序遍歷：左兒子——父節點——右兒子（前提是必須是二叉樹）。

關於二叉樹：

二叉樹是一種特殊的樹形結構，除了葉節點，其餘的每個節點的度都小於等於2，也就是說每個父節點都最多有兩個子結點。下圖是二叉樹的五種形態：

關於二叉樹的性質：

1、在二叉樹的第i層上最多有 2 的 i-1 次方個結點

證明：二叉樹的第一層至多有2的零次方個結點，第2層至多有2的一次方個結點，因為每個節點最多有兩個兒子，所以每一層都是上一層的結點數乘2，那第 i 層自然就是2^（i-1）個結點。

2、層數（深度）為k的二叉樹最多有 2^k -1個結點

證明：由於第1層有2^0個結點，第2層有2^1個結點，那第k層至多有2^（k-1）個結點，

則總結點數就是：2^0+2^1+……+2^（k-1）=2^0+2^0+2^1+……+2^（k-1）-2^0=2^1+2^1+2^2+……+2^（k-1）-1=2^k -1

3、如果一棵二叉樹葉結點數為n0，度為2的結點數為n2，則一定滿足：n0=n2+1

證明：對於父節點一定對應兩子結點的子樹，設一共x層，那非子結點的個數就是前x-1層的個數，由性質2得出前x-1層的個數為2^（x-1）-1，由性質1得出第x層上的子結點個數為2^（x-1）個，所以兩者相差1。

4、有n個結點的完全二叉樹（最下層的葉節點左邊是滿的，右邊可以為空，如下圖）的深度為：floor（log2 n）+1

證明：設結點數是n，深度是k，由性質2得：n=2^（k-1）為指數函式，轉換成對數函式就是：log2 n=k-1。即 k=floor（（log2 n）+1），由於人家不一定是滿的，要加一個下取整。

（如圖就是一棵完全二叉樹）

5、對於任意的完全二叉樹的某個標號為n的左結點，此結點的父節點的標號為n/2，兄弟結點的標號n+1，左兒子為2n，右兒子為2n+1。

一道簡單的練習題：

q：一棵完全二叉樹的結點總數是18，其葉節點數是？

a：由性質4得出此二叉樹的層數為floor（log2 18）+1=5

由性質2的前4層（由於是完全二叉樹，前4層一定是滿的）的結點數是2^4 -1=15

所以最後一層有18-15=3個結點，最後一層的三個子結點用掉了上一層的2個父結點

第四層有2^（4-1）=8個子結點，用掉倆還剩6個沒有子結點的結點，他們也是葉結點

所以一共有3+6=9個子結點

遍歷二叉樹的程式碼實現：

1.先序遍歷：先訪問根結點，再遍歷左二叉樹，最後遍歷右二叉樹。

1 void preorder(tree bt) //先序遞迴演算法
2 { 
3   if(bt)
4    {  cout << bt->data;
5      preorder(bt->lchild);
6      preorder(bt->rchild);
7     }
8 }

2、中序遍歷：先遍歷左二叉樹，再訪問根結點，最後遍歷右二叉樹。

1 void inorder(tree bt)  //中序遍歷遞迴演算法
2 {
3 　 if(bt)
4 　   {  inorder(bt->lchild);
5 　　　cout << bt->data;
6 　　　inorder(bt->rchild);
7 　   }
8 }

3、後序遍歷：先遍歷左二叉樹，再遍歷右二叉樹，最後訪問根結點。

1 void postorder(tree bt)  //後序遞迴演算法
2 {
3       if(bt)
4       {  
5           postorder(bt->lchild);
6            postorder(bt->rchild);
7           cout << bt->data;
8     }
9 }