【資料結構】可持久化線段樹初步

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簡介
原理
程式碼

簡介

所謂可持久化線段樹，就是將線段樹的各個歷史版本儲存起來，以達到通過利用歷史資訊解決問題的目的。

原理

以權值線段樹為例，
我們來看看權值線段樹是如何實現可持久化的。

給出一個空的權值線段樹，依次插入四個數：

1 3 4 2

首先，這是空的樹（記為第 \(0\) 個版本）：（其中鍵值 \(cnt\) 表示區間元素個數）

現在插入第一個元素 1 ，注意到我們要保留每一個歷史版本，所以我們不是在原樹上進行修改，但是我們不可能重新開一個新的線段樹，那麼開銷太大，所以我們發生了修改的地方進行加點：

發生修改的地方：

加點：因為這個時候 1 的個數為 \(1\) ，而且其他結點的元素個數為 \(0\) ，所以相關的新增點鍵值 \(cnt\) 都是 \(1\) 。

注意到這樣一個事實：新點取代舊點後對應的線段樹結構是完全不變的。
但是舊的節點並沒有被刪去。

那麼類似地，我們開始插入第二個元素 3，每次對於加點只需要基於上一個版本就可以了（紅色結點表示發生修改的點），如圖所示，\(cnt\) 也進行相應更新：

是不是有點暈，其實到目前，我們有三棵線段樹：
一開始的空樹：

插入第一個元素後得到的第二棵樹：

插入第二個元素後得到第三棵樹：

而這三棵樹，都儲存在可持久化線段樹的節點中。

第三第四個元素插入的操作類似於第二個元素插入操作：基於上一版本記錄就好了。

模板題目傳送門：https://www.acwing.com/problem/content/257/

結合模板題進行分析：
如果查詢的區間是 \([1,n]\) ，那麼開一個權值線段樹（不妨將它看成一個桶）就可以了，當查詢的 $ k > cnt $ 時，我們向右子樹遞迴，否則向左子樹遞迴。

但是我們需要查詢 \([l,r]\) ，於是使用可持久化線段樹來處理：查詢 \([l,r]\) 的 \(k\) 小數，基於字首和的思想，無非是要知道第 \(l-1\) 到 \(r\) 次插入操作元素個數的情況，那麼我們作個差就行了：將第 \(r\) 個版本對應節點的 \(cnt\) 減去 \(l-1\) 版本對應節點的 \(cnt\) 就能夠獲取相應地元素個數情況了，剩下的操作就是權值線段樹的基本操作，結束。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

/*
習慣約定：
u代表結點（編號）
p代表先前版本的位置指標
q代表最新版本的位置指標
*/

const int N=1e5+5, M=1e4+5;
int n,m;
int a[N];
vector<int> nums; // 離散化
int root[N];

int find(int x){
	return lower_bound(nums.begin(),nums.end(),x)-nums.begin();
}

struct node{
	int l,r; // 這裡的 l,r 並非區間邊界，而是指向左右兒子結點的編號的指標
	int cnt; // 結點鍵值，維護個數。
}tr[4*N+17*N]; // 初始開的點數+logN * N （各版本總規模）

int idx;
// 返回建立的點的編號，兩個引數分別代表左右邊界。
int build(int l,int r){
	int u=++idx;
	if(l==r) return u;
	int mid=l+r>>1;
	tr[u].l=build(l,mid), tr[u].r=build(mid+1,r);
	return u;
}

// 遞迴地插入
int insert(int p,int l,int r,int x){
	int q=++idx;
	tr[q]=tr[p];
	if(l==r){
		tr[q].cnt++;
		return q;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) tr[q].l=insert(tr[p].l,l,mid,x); // 如果更新的位置是在左邊，那麼 tr[q].l 為新開點
	else tr[q].r=insert(tr[p].r,mid+1,r,x); // 否則 tr[q].r 為新開點
	tr[q].cnt=tr[tr[q].l].cnt+tr[tr[q].r].cnt; // pushup the cnt
	return q;
}

int query(int p,int q,int l,int r,int k){
	if(l==r) return r;
	int mid=l+r>>1;
	int cnt=tr[tr[q].l].cnt-tr[tr[p].l].cnt;
	if(cnt>=k) return query(tr[p].l,tr[q].l,l,mid,k);
	else return query(tr[p].r,tr[q].r,mid+1,r,k-cnt);
}

int main(){
	cin>>n>>m;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i], nums.push_back(a[i]);
		
	sort(nums.begin(),nums.end());
	nums.erase(unique(nums.begin(),nums.end()),nums.end());
	
	root[0]=build(0,nums.size()-1); // 第0個版本指的就是空的線段樹。
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		root[i]=insert(root[i-1],0,nums.size()-1,find(a[i]));
	
	while(m--){
		int l,r,k; cin>>l>>r>>k;
		cout<<nums[query(root[l-1],root[r],0,nums.size()-1,k)]<<endl; // 列印原來的值
	}

	return 0;
}