關於樹上路徑異或和的思考

關於樹上路徑異或和的思考

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做樹上路徑異或時突發想到了一個問題，怎麼求樹上路徑異或和之和，但是沒找到題目。

大概思路：

1.樹形$dp$求出從根出發的路徑異或和$dp[u]$。

2.顯然我們需要的最終結果就是：
$\sum dp[i]\oplus dp[j](1\le i<j\le n)$。
當$n\le 10^5$ 顯然不能暴力。

3.考慮每一位的貢獻。

設$cnt[i]$表示第$i$位出現了多少次$1$，則0出現的次數為$n-cnt[i]$。
由乘法原理，可得到該位的貢獻為：$cnt[i]\times (n-cnt[i])\times 2^i$。
最後求和可得$ans=\sum _{i=0}^{31}cnt[i]\times (n-cnt[i])\times 2^i$

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這個問題還可以有很多變形，比如求路徑異或和為偶數的和，路徑異或和為奇數的和。

對於路徑異或和為奇數，顯然一個$dp[i],dp[j]$最低位不相同即可，所以可以考慮把結點分成兩堆，一堆為奇數，一堆為偶數。
然後開個陣列$a[][2],b[][2]$，再按位計算貢獻。
$ans=\sum _{i=0}^{31}(a[i][0]\times b[i][[1]+a[i][1]\times b[i][0])\times 2^i$

偶數的話，就用上面的答案$-$去奇數的和，或者還是分成兩堆同理算。

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求路徑異或和是$k$的個數。
開個桶記錄，如果數較大，就用$map$。

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求路徑異或和是$k$的倍數的個數。

呃，變成點分治題目了。

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