技術人的精神，就是追根究底，把一個事情徹底弄清楚吧！
題目
眾所周知，位元組在一二面的末尾，會隨機抽一道演算法題，當場寫程式碼。我抽到的題目如下：
二叉樹根節點到葉子節點的所有路徑和。給定一個僅包含數字 0−9 的二叉樹，每一條從根節點到葉子節點的路徑都可以用一個數字表示。例如根節點到葉子節點的一條路徑是 1→2→3,那麼這條路徑就用 123 來代替。找出根節點到葉子節點的所有路徑表示的數字之和。
例如：這棵二叉樹一共有兩條路徑，根節點到左葉子節點的路徑 12 代替，根節點到右葉子節點的路徑用 13 代替。所以答案為12+13=25 。
遞迴解法
看到這個題目，首先想到的，其實就是找到這個二叉樹的從根節點到葉子節點的所有路徑。而要找到所有路徑，第一想到的肯定是遞迴。通過左子樹的遞迴拿到的路徑、右子樹的遞迴拿到的路徑，以及根節點，得出最終的所有路徑。
演算法如下：
STEP1：如果已經是葉子節點，那麼構造一條路徑列表，該路徑只有一個元素即葉子節點的值，然後返回【退出條件】。
STEP2: 遞迴找到左子樹到葉子節點的所有路徑列表。對於每條路徑，將根節點加入，從而得到新的結果路徑，並加入；
STEP3：遞迴找到右子樹到葉子節點的所有路徑列表。對於每條路徑，將根節點加入，從而得到新的結果路徑，並加入；
STEP4: 將左右子樹的所有路徑合併成最終的路徑列表【組合子問題的解】。
有兩點說明下：
- 由於節點的值只有 0-9，因此，可以直接用字串來表示路徑。如果用 List[Integer] ，更靈活，不過會變成列表的列表，處理起來會有點繞。
- 構建路徑時，使用的是 StringBuilder 的 append 方法，而不是 insert 方法，因此構造的路徑是逆序的。主要考慮到 insert 方法會導致陣列頻繁移動，效率低。具體可以看 StringBuilder 實現。
遞迴程式碼如下：
public List<Path> findAllPaths(TreeNode root) {
List<Path> le = new ArrayList<>();
List<Path> ri = new ArrayList<>();
if (root != null) {
if (root.left == null && root.right == null) {
List<Path> single = new ArrayList<>();
single.add(new Path(root.val));
return single;
}
if (root.left != null) {
le = findAllPaths(root.left);
for (Path p: le) {
p.append(root.val);
}
}
if (root.right != null) {
ri = findAllPaths(root.right);
for (Path p: ri) {
p.append(root.val);
}
}
}
List<Path> paths = new ArrayList<>();
paths.addAll(le);
paths.addAll(ri);
return paths;
}
class Path {
StringBuilder s = new StringBuilder();
public Path() { }
public Path(Integer i) {
s.append(i);
}
public Path(List list) {
list.forEach( e-> {
s.append(e);
});
}
public Path(String str) { this.s = new StringBuilder(str); }
public Long getValue() {
return Long.parseLong(s.reverse().toString());
}
public StringBuilder append(Integer i) {
return s.append(i);
}
public String toString() {
return s.reverse().toString();
}
}
class TreeNode {
int val;
TreeNode left;
TreeNode right;
TreeNode(int x) { val = x; }
public int height() {
if (left == null && right == null) {
return 1;
}
int leftHeight = 0;
int rightHeight = 0;
if (left != null) {
leftHeight = left.height();
}
if (right != null) {
rightHeight = right.height();
}
return 1 + max(leftHeight, rightHeight);
}
}
關鍵點
實際上，我在面試當場沒有做出來，但在面試後的十分鐘，我就把程式碼寫出來了。可能在面試的時候有點緊張，有個地方一直卡住了。
類似二叉樹、動態規劃的問題，由於有多條分支，從思維上來說，不像處理陣列、連結串列那樣是一種線性思維，而是需要一種非線性思維，因此，多做類似的題目，對思維的鍛鍊是很有益的，—— 能夠幫助人擺脫固有的線性思維。
一般來說，演算法問題，通常可以分為兩步：1. 劃分子問題； 2. 將子問題的解組合成原問題的解。 劃分子問題，相對容易一點，但如果劃分不合理，就難以想清楚如何去組合解。我一開始就想到了要用子樹的解與根節點來組合，但是一直糾結在對求出單條路徑的思考上，而不是把所有路徑作為子問題的解。這樣，我就難以想到如何去組合得到最終解。但面試結束之後，我腦子裡閃過左子樹的所有路徑列表，頓時就明白如何組合了。因此，有時，把“所有”作為子問題的解，再跟上層節點組合，反而能容易地得到原問題的解。此外，遞迴要特別注意退出條件。
推薦可以多做二叉樹、動態規劃的題目，能夠很好地鍛鍊劃分子問題、組合子問題的解來求解的技能。
非遞迴演算法
實現遞迴解法，只是一個開始。遞迴演算法很簡潔，但執行效率很低，而且容易棧溢位。如果一個足夠大的二叉樹，就能讓遞迴程式碼無法執行下去。因此，需要尋求非遞迴實現。
非遞迴實現，往往需要藉助於棧。我們需要模擬一下如何用棧來訪問二叉樹。如下圖所示：
可以先找找規則，往往規則就是程式碼的路徑。
- 每次走到一個節點，先將節點值入棧；
- 走到葉子節點時，說明已經走到路徑的盡頭，可以記錄下這條路徑。
第一版非遞迴實現如下。用一個棧來儲存二叉樹的訪問節點。如果是葉子節點，就記錄路徑，然後將葉子節點出棧，繼續訪問。
public List<Path> findAllPathsNonRecDeadLoop(TreeNode root) {
List<Path> allPaths = new ArrayList<>();
Stack<Integer> s = new DyStack<Integer>();
TreeNode p = root;
while(p != null) {
s.push(p.val);
if (p.left == null && p.right == null) {
allPaths.add(new Path(s.unmodifiedList()));
s.pop();
if (s.isEmpty()) {
break;
}
}
if (p.left != null) {
p = p.left;
}
else if (p.right != null) {
p = p.right;
}
}
return allPaths;
}
不過，這個程式碼實現會陷入死迴圈。為什麼呢？因為它會無止境重複進入左子樹，而且回溯的時候，也沒法找到父節點。
回溯
為了解決死迴圈的問題，我們需要加一些支援：進入某個節點時，必須記下該節點的父節點，以及該父節點是否訪問過左右子樹。這個資訊用 TraceNode 來表示。由於始終需要回溯，因此，TraceNode 必須放在棧中，在適當的時候彈出，就像儲存現場一樣。當遍歷的時候，需要記錄已經訪問的節點，不重複訪問，也需要避免將中間節點重複壓棧。
重新理一下。對於當前節點，有四種情形需要考慮：
- 當前節點是葉子節點。記錄路徑、出棧 treeData, 出棧 traceNode ，回溯到父節點；
- 當前節點不是葉子節點，有左子樹，則需要記錄該節點指標及左子樹已訪問，並進入左子樹；
- 當前節點不是葉子節點，有右子樹，則需要記錄該節點指標及右子樹已訪問，並進入右子樹；
- 當前節點不是葉子節點，有左右子樹且均已訪問，出棧 treeData, 出棧 traceNode ，回溯到父節點。
第二版的遞迴實現如下：
public List<Path> findAllPathsNonRec(TreeNode root) {
List<Path> allPaths = new ArrayList<>();
Stack<Integer> treeData = new DyStack<>();
Stack<TraceNode> trace = new DyStack<>();
TreeNode p = root;
TraceNode traceNode = TraceNode.getNoAccessedNode(p);
while(p != null) {
if (p.left == null && p.right == null) {
// 葉子節點的情形，需要記錄路徑，並回溯到父節點
treeData.push(p.val);
allPaths.add(new ListPath(treeData.unmodifiedList()));
treeData.pop();
if (treeData.isEmpty()) {
break;
}
traceNode = trace.pop();
p = traceNode.getParent();
continue;
}
else if (traceNode.needAccessLeft()) {
// 需要訪問左子樹的情形
treeData.push(p.val);
trace.push(TraceNode.getLeftAccessedNode(p));
p = p.left;
}
else if (traceNode.needAccessRight()) {
// 需要訪問右子樹的情形
if (traceNode.hasNoLeft()) {
treeData.push(p.val);
}
if (!traceNode.hasAccessedLeft()) {
// 訪問左節點時已經入棧過，這裡不重複入棧
treeData.push(p.val);
}
trace.push(TraceNode.getRightAccessedNode(p));
p = p.right;
if (p.left != null) {
traceNode = TraceNode.getNoAccessedNode(p);
}
else if (p.right != null) {
traceNode = TraceNode.getLeftAccessedNode(p);
}
}
else if (traceNode.hasAllAccessed()) {
// 左右子樹都已經訪問了，需要回溯到父節點
if (trace.isEmpty()) {
break;
}
treeData.pop();
traceNode = trace.pop();
p = traceNode.getParent();
}
}
return allPaths;
}
class TraceNode {
private TreeNode parent;
private int accessed; // 0 均未訪問 1 已訪問左 2 已訪問右
public TraceNode(TreeNode parent, int child) {
this.parent = parent;
this.accessed = child;
}
public static TraceNode getNoAccessedNode(TreeNode parent) {
return new TraceNode(parent, 0);
}
public static TraceNode getLeftAccessedNode(TreeNode parent) {
return new TraceNode(parent, 1);
}
public static TraceNode getRightAccessedNode(TreeNode parent) {
return new TraceNode(parent, 2);
}
public boolean needAccessLeft() {
return parent.left != null && accessed == 0;
}
public boolean needAccessRight() {
return parent.right != null && accessed < 2;
}
public boolean hasAccessedLeft() {
return parent.left == null || (parent.left != null && accessed == 1);
}
public boolean hasNoLeft() {
return parent.left == null;
}
public boolean hasAllAccessed() {
if (parent.left != null && parent.right == null && accessed == 1) {
return true;
}
if (parent.right != null && accessed == 2) {
return true;
}
return false;
}
public TreeNode getParent() {
return parent;
}
public int getAccessed() {
return accessed;
}
}
關於是否已訪問左右子樹的判斷都隱藏在 TraceNode 裡，findAllPathsNonRec 方法不感知這個。後續如果覺得用 int 來表示 accessed 空間效率不高，可以內部重構，對 findAllPathsNonRec 無影響。這就是封裝的益處。
測試
遞迴程式碼和非遞迴程式碼都是容易有 BUG 的，需要仔細測試下。測試用例通常至少要包括：
- C1: 單個根節點樹；
- C2: 單個根節點 + 左節點；
- C3: 單個根節點 + 右節點；
- C4: 單個根節點 + 左右節點；
- C5: 普通的二叉樹，左右隨機；
- 複雜的二叉樹，非常大。
如何構造複雜的二叉樹呢？可以採用構造法。基於簡單的 C2,C3,C4，將一棵樹的根節點連線到另一棵樹的左葉子節點或右葉子節點上。複雜結構總是由簡單結構來組合而成。
測試程式碼如下。用 TreeBuilder 註解來表示構造的二叉樹，從而能夠批量拿到這些方法構造的樹，進行測試。
public static void main(String[] args) {
TreePathSum treePathSum = new TreePathSum();
Method[] methods = treePathSum.getClass().getDeclaredMethods();
for (Method m: methods) {
if (m.isAnnotationPresent(TreeBuilder.class)) {
try {
TreeNode t = (TreeNode) m.invoke(treePathSum, null);
System.out.println("height: " + t.height());
treePathSum.test2(t);
} catch (Exception ex) {
System.err.println(ex.getMessage());
}
}
}
}
public void test(TreeNode root) {
System.out.println("Rec Implementation");
List<Path> paths = findAllPaths(root);
Long sum = paths.stream().collect(Collectors.summarizingLong(Path::getValue)).getSum();
System.out.println(paths);
System.out.println(sum);
System.out.println("Non Rec Implementation");
List<Path> paths2 = findAllPathsNonRec(root);
Long sum2 = paths2.stream().collect(Collectors.summarizingLong(Path::getValue)).getSum();
System.out.println(paths2);
System.out.println(sum2);
assert sum == sum2;
}
public void test2(TreeNode root) {
System.out.println("Rec Implementation");
List<Path> paths = findAllPaths(root);
System.out.println(paths);
System.out.println("Non Rec Implementation");
List<Path> paths2 = findAllPathsNonRec(root);
System.out.println(paths2);
assert paths.size() == paths2.size();
for (int i=0; i < paths.size(); i++) {
assert paths.get(i).toString().equals(paths2.get(i).toString());
}
}
@TreeBuilder
public TreeNode buildTreeOnlyRoot() {
TreeNode tree = new TreeNode(9);
return tree;
}
@TreeBuilder
public TreeNode buildTreeWithL() {
return buildTreeWithL(5, 1);
}
public TreeNode buildTreeWithL(int rootVal, int leftVal) {
TreeNode tree = new TreeNode(rootVal);
TreeNode left = new TreeNode(leftVal);
tree.left = left;
return tree;
}
@TreeBuilder
public TreeNode buildTreeWithR() {
return buildTreeWithR(5,2);
}
public TreeNode buildTreeWithR(int rootVal, int rightVal) {
TreeNode tree = new TreeNode(rootVal);
TreeNode right = new TreeNode(rightVal);
tree.right = right;
return tree;
}
@TreeBuilder
public TreeNode buildTreeWithLR() {
return buildTreeWithLR(5,1,2);
}
public TreeNode buildTreeWithLR(int rootVal, int leftVal, int rightVal) {
TreeNode tree = new TreeNode(rootVal);
TreeNode left = new TreeNode(leftVal);
TreeNode right = new TreeNode(rightVal);
tree.right = right;
tree.left = left;
return tree;
}
Random rand = new Random(System.currentTimeMillis());
@TreeBuilder
public TreeNode buildTreeWithMore() {
TreeNode tree = new TreeNode(5);
TreeNode left = new TreeNode(1);
TreeNode right = new TreeNode(2);
TreeNode left2 = new TreeNode(3);
TreeNode right2 = new TreeNode(4);
tree.right = right;
tree.left = left;
left.left = left2;
left.right = right2;
return tree;
}
@TreeBuilder
public TreeNode buildTreeWithMore2() {
TreeNode tree = new TreeNode(5);
TreeNode left = new TreeNode(1);
TreeNode right = new TreeNode(2);
TreeNode left2 = new TreeNode(3);
TreeNode right2 = new TreeNode(4);
tree.right = right;
tree.left = left;
right.left = left2;
right.right = right2;
return tree;
}
public TreeNode treeWithRandom() {
int c = rand.nextInt(3);
switch (c) {
case 0: return buildTreeWithL(rand.nextInt(9), rand.nextInt(9));
case 1: return buildTreeWithR(rand.nextInt(9), rand.nextInt(9));
case 2: return buildTreeWithLR(rand.nextInt(9), rand.nextInt(9), rand.nextInt(9));
default: return buildTreeOnlyRoot();
}
}
public TreeNode linkRandom(TreeNode t1, TreeNode t2) {
if (t2.left == null) {
t2.left = t1;
}
else if (t2.right == null) {
t2.right = t1;
}
else {
int c = rand.nextInt(4);
switch (c) {
case 0: t2.left.left = t1;
case 1: t2.left.right = t1;
case 2: t2.right.left = t1;
case 3: t2.right.right = t1;
default: t2.left.left = t1;
}
}
return t2;
}
@TreeBuilder
public TreeNode buildTreeWithRandom() {
TreeNode root = treeWithRandom();
int i = 12;
while (i > 0) {
TreeNode t = treeWithRandom();
root = linkRandom(root, t);
i--;
}
return root;
}
經測試，發現第二版非遞迴程式在某種情況下，還是有 BUG 。這說明某些基本情形還是沒覆蓋到。用如下測試用例除錯，發現就有問題：
@TreeBuilder
public TreeNode buildTreeWithMore4() {
TreeNode tree = new TreeNode(5);
TreeNode left = new TreeNode(1);
TreeNode right = new TreeNode(2);
TreeNode left2 = new TreeNode(3);
TreeNode right2 = new TreeNode(4);
TreeNode right3 = new TreeNode(6);
tree.right = right;
tree.left = left;
left.right = right3;
right.right = left2;
left2.right = right2;
return tree;
}
回溯再思考
問題在哪裡？當初次進入沒有左子樹的右子樹時，會有問題。這說明，我還沒有真正弄明白整個回溯過程。重新再理一下回溯過程：
- 有一個用來指向當前訪問節點的指標 p ;
- 有一個用來儲存已訪問節點值的棧 treeData;
- 有一個用來回溯的儲存最近一次訪問的節點資訊的棧 trace ；
- 有一個用來指明往哪個方向走的 traceNode 。
問題在於我沒想清楚 traceNode 到底是什麼含義。 traceNode 的 parent 和 accessed 到底該存放什麼。實際上，traceNode 和 p 是配套使用的。p 是當前進入的節點的指標，而 traceNode 用來指明進入 p 之後，該往哪裡走。 traceNode 的來源應該有兩個：
- 第一次進入 p 時，這時候，左右子樹都沒有訪問過，parent 應該與 p 相同，而 accessed 總是初始化為 0 ；
- 訪問了 p 的左子樹或右子樹，回溯進入 p 時，這時候 parent 應該是 p 的父節點，從 trace 裡拿到。
第二版非遞迴程式正是沒有考慮到第一次進入 p 時的情況。 如下程式碼所示。當 p 進入左子樹時，需要將最近一次的父節點資訊入棧 trace ，同時需要將 traceNode 設定為初始進入 p 時的情形。進入右子樹類似。這一點正是第二版非遞迴程式沒有想清楚的地方。
trace.push(TraceNode.getLeftAccessedNode(p));
p = p.left;
traceNode = TraceNode.getNoAccessedNode(p);
我們做一些修改，得到了第三版非遞迴程式。經測試是 OK 的。
public List<Path> findAllPathsNonRec(TreeNode root) {
List<Path> allPaths = new ArrayList<>();
Stack<Integer> treeData = new DyStack<>();
Stack<TraceNode> trace = new DyStack<>();
TreeNode p = root;
TraceNode traceNode = TraceNode.getNoAccessedNode(p);
while(p != null) {
if (p.left == null && p.right == null) {
// 葉子節點的情形，需要記錄路徑，並回溯到父節點
treeData.push(p.val);
allPaths.add(new ListPath(treeData.unmodifiedList()));
treeData.pop();
if (treeData.isEmpty()) {
break;
}
traceNode = trace.pop();
p = traceNode.getParent();
continue;
}
else if (traceNode.needAccessLeft()) {
// 需要訪問左子樹的情形
treeData.push(p.val);
trace.push(TraceNode.getLeftAccessedNode(p));
p = p.left;
traceNode = TraceNode.getNoAccessedNode(p);
}
else if (traceNode.needAccessRight()) {
// 需要訪問右子樹的情形
if (traceNode.hasNoLeft()) {
treeData.push(p.val);
}
if (!traceNode.hasAccessedLeft()) {
// 訪問左節點時已經入棧過，這裡不重複入棧
treeData.push(p.val);
}
trace.push(TraceNode.getRightAccessedNode(p));
p = p.right;
traceNode = TraceNode.getNoAccessedNode(p);
}
else if (traceNode.hasAllAccessed()) {
// 左右子樹都已經訪問了，需要回溯到父節點
if (trace.isEmpty()) {
break;
}
treeData.pop();
traceNode = trace.pop();
p = traceNode.getParent();
}
}
return allPaths;
}
優化
擴充套件性
由於題目中所給的節點值為 0-9， 因此，前面取巧用了字串來表示路徑。如果節點值不為 0-9 呢？如果依然要用字串表示，則需要分隔符。現在，我們用列表來表示路徑。封裝的好處，就在於可以替換實現，而儘量少地改變客戶端程式碼（在這裡是findAllPaths 和 findAllPathsNonRec 方法）。
這裡，Path 類改成介面，原來的 Path 類改成 StringPath ，然後用 StringPath 替換 Path 。 將原來 StringPath 用到的方法，定義成介面方法。只用到了 append 和 getValue 方法。不過，構造器方法引數也要相容。這樣，只要把原來的 StringPath 改成 ListPath ，其它基本不用動，就可以執行通過。
interface Path {
void append(Integer i);
Long getValue();
}
class StringPath implements Path { // code as before }
class ListPath implements Path {
List<Integer> path = new ArrayList<>();
public ListPath(int i) {
this.path.add(i);
}
public ListPath(List list) {
this.path.addAll(list);
}
@Override
public void append(Integer i) {
path.add(i);
}
@Override
public Long getValue() {
StringBuilder s = new StringBuilder();
path.forEach( e-> {
s.append(e);
});
return Long.parseLong(s.reverse().toString());
}
public String toString() {
return StringUtils.join(path.toArray(), "");
}
}
小結
花了一天弄懂二叉樹回溯的玩法。技術人的精神，就是追根究底，把一個事情徹底弄清楚吧！
在本文中，我們通過一個二叉樹的路徑尋找面試題，討論了遞迴和非遞迴解法，探討了非遞迴過程中遇到的問題，模擬了二叉樹的回溯，對於理解二叉樹的訪問是很有益的。而對於回溯演算法的理解，鍛鍊了非線性思維。此外，當程式有 BUG 時，往往是某個方面沒想得足夠明白導致。堅持思考，清晰定義，就能向正確再邁進一步。
不看答案，自己弄明白一個問題，收穫大大的！
本文完整原始碼見：ALLIN 工程裡：zzz.study.datastructure.tree.TreePathSum