【圖論】最小生成樹

buliang發表於2019-01-19
圖論

最小生成樹有兩種生成演算法

  • Prim（普里姆演算法）
  • Kruskal（克魯斯克爾）演算法

Prim 演算法（普利姆演算法）

  • 演算法流程：（我的理解）

    • 任選一個元素，作為起始點
    • 將起始點標記為visit，代表該點已經加入最小生成樹集合
    • 計算這個集合到未加入的各個點的距離
    • 選擇一個最小的距離點，加入集合，即標記為已訪問
    • 更新集合到其他各個點的最小距離
    • 迭代

存疑

- 目前沒有找到記錄下路徑的辦法，不知道是不是還沒理解到位

Java 實現

package com.edu.chapter03;

import org.junit.Test;

public class MinimumTree {
    /**
     * 最小生成樹
     */
    int n;
    int e[][];
    int dis[];

    public void createMinmumTree() {
        int pos = 1; // 從1節點開始，可以任意指定；pos 代表當前要加入最小生成樹集合的編號
        int join[] = new int[n + 1]; // 記錄各個點加入的情況
        int weight = 0;
        // 初始化最小生成樹集合與其他各個點的距離
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dis[i] = i == pos ? 0 : e[pos][i];
        }

        for (int i = 2; i <= n; i++) { // 從尋找第二個點開始（並不是代表要把2號點新增進去）
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (join[j] == 0 && dis[j] !=0 && min > dis[j]) { // 找出集合距離未加入的點的最近邊及點;dis[j]!=0 表示跳過和自己的比較
                    min = dis[j];
                    pos = j; // 找到最小位置，下一個要加入的點就是這個點
                }
            }

            join[pos] = 1; // 標記為以加入最小生成樹集合
            weight += min;
 
            //重新計算集合距離其他點的距離
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (join[j] == 0 && dis[j] > e[pos][j]) { // 比較新加入的點是否帶來的更短的距離，
                    dis[j] = e[pos][j]; //有，則更新。保證dis裡儲存的是到其他點的最近距離
                }
            }
        }
        System.out.println("weight:" + weight);
    }

    @Test
    public void test01() {
        n = 6;
        e = new int[n + 1][n + 1];
        dis = new int[n + 1];

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (i == j) {
                    e[i][j] = 0;
                } else {
                    e[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                }
            }
        }

        e[1][2] = e[2][1] = 2;
        e[1][3] = e[3][1] = 4;
        e[1][4] = e[4][1] = 7;

        e[2][3] = e[3][2] = 1;
        e[2][5] = e[5][2] = 2;

        e[3][4] = e[4][3] = 1;
        e[3][5] = e[5][3] = 6;
        createMinmumTree();
    }
}

Kruskal（克魯斯克爾）演算法

  • 演算法思路

    • 首先將圖中的邊按權重大小排序（從小到大）

      • 可以使用快速排序或者堆排序

    • 取出一條邊，將邊對應的兩個節點放入一個集合

      • 如果集合中已經存在這兩個點，則放棄該邊
      • 不斷有邊加入，將不同的集合連起來，直到集合包含了所有節點，結束
      • 每次有效新增的一條邊，代表了最小生成樹中對應的邊，或者說路徑

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