本篇文章的定義均來自與oi-wiki
定義
我們定義無向連通圖的 最小生成樹 \(（Minimum\ Spanning\ Tree,MST）\)為邊權和最小的生成樹。
注意：只有連通圖才有生成樹，而對於非連通圖，只存在生成森林。
\(Prim\)演算法
\(Prim\) 演算法是一種常見並且好寫的最小生成樹演算法。該演算法的基本思想是從一個結點開始，不斷加點
具體來說，每次要選擇距離最小的一個結點，以及用新的邊更新其他結點的距離
時間複雜度 \(O(n^2)\)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rg register
inline int read(){
rg int x=0,fh=1;
rg char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*fh;
}
const int maxn=5e3+5;
int mp[maxn][maxn],dis[maxn],n,m;
bool vis[maxn];
void prim(){
dis[1]=0;
for(rg int i=1;i<n;i++){
rg int x=0;
for(rg int j=1;j<=n;j++){
if(!vis[j] && (x==0 || dis[j]<dis[x])) x=j;
}
vis[x]=1;
for(rg int j=1;j<=n;j++){
if(!vis[j]) dis[j]=std::min(dis[j],mp[j][x]);
}
}
}
int main(){
memset(mp,0x3f,sizeof(mp));
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
n=read(),m=read();
rg int aa,bb,cc;
for(rg int i=1;i<=m;i++){
aa=read(),bb=read(),cc=read();
mp[aa][bb]=mp[bb][aa]=std::min(mp[aa][bb],cc);
}
prim();
rg int ans=0;
for(rg int i=1;i<=n;i++){
ans+=dis[i];
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
Kruskal 演算法
\(Kruskal\) 演算法是另一種常見並且好寫的最小生成樹演算法，由 \(Kruskal\) 發明
該演算法的基本思想是從小到大加入邊，是個貪心演算法
時間複雜度 \(O(mlogn)\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=600000;
struct asd{
int from,to,val;
}b[maxn];
int tot=1,head[maxn];
void ad(int aa,int bb,int cc){
b[tot].from=aa;
b[tot].to=bb;
b[tot].val=cc;
tot++;
}
bool cmp(asd aa,asd bb){
return aa.val<bb.val;
}
int fa[maxn];
int zhao(int xx){
if(xx==fa[xx]) return xx;
return fa[xx]=zhao(fa[xx]);
}
void bing(int xx,int yy){
fa[zhao(xx)]=zhao(yy);
}
int shu(int xxx){
sort(b+1,b+tot,cmp);
int ans=0,cnt=0;
for(int i=1;i<tot;i++){
int xx=b[i].from,yy=b[i].to;
if(zhao(xx)!=zhao(yy)){
bing(xx,yy);
ans+=b[i].val;
if(++cnt==xxx) return ans;
}
}
return -1;
}
int main(){
for(int i=0;i<maxn;i++) fa[i]=i;
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int aa,bb,cc;
scanf("%d%d%d",&aa,&bb,&cc);
ad(aa,bb,cc);
}
int ans=shu(n-1);
if(ans==-1) printf("orz\n");
else printf("%d\n",ans);
return 0;
}
\(Boruvka\) 演算法
\(Boruvka\) 其實是一種多路增廣的 \(Prim\)
\(Boruvka\) 演算法每一次的增廣，會對現在的每一個連通塊都找一遍的最短邊，最後每個連通塊擇優，將這些邊全部連上
時間複雜度 \(O(mlogn)\)
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define rg register
inline int read(){
rg int x=0,fh=1;
rg char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*fh;
}
const int maxn=1e6+5;
struct asd{
int zb,yb,val;
}b[maxn];
int n,m,fa[maxn],cnt,sum,bes[maxn];
int zhao(rg int xx){
if(xx==fa[xx]) return xx;
return fa[xx]=zhao(fa[xx]);
}
bool vis[maxn];
bool pd(rg int aa,rg int bb){
if(bb==0) return 1;
if(b[aa].val!=b[bb].val) return b[aa].val<b[bb].val;
return aa<bb;
}
int main(){
n=read(),m=read();
for(rg int i=1;i<=m;i++){
b[i].zb=read(),b[i].yb=read(),b[i].val=read();
}
for(rg int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
rg bool jud=1;
rg int aa,bb;
while(jud){
jud=0;
memset(bes,0,sizeof(bes));
for(rg int i=1;i<=m;i++){
if(vis[i]) continue;
aa=zhao(b[i].zb),bb=zhao(b[i].yb);
if(aa==bb) continue;
if(pd(i,bes[aa])) bes[aa]=i;
if(pd(i,bes[bb])) bes[bb]=i;
}
for(rg int i=1;i<=n;i++){
if(bes[i]!=0 && vis[bes[i]]==0){
jud=1;
cnt++;
sum+=b[bes[i]].val;
vis[bes[i]]=1;
fa[zhao(b[bes[i]].zb)]=zhao(b[bes[i]].yb);
}
}
}
if(cnt!=n-1) printf("orz\n");
else printf("%d\n",sum);
return 0;
}