什麼是生成樹
子圖：G=<V，E>，G'=<V', E'>，為兩個圖（V為點集，即圖中點的集合，E為邊集），如果V'是V的子集且E'是E的子集，則G'是G的子圖。
如果V'=V，則稱G'為G的生成子圖
如果G'是無向生成子圖且是樹的結構，則為生成樹
最小生成樹
最小生成樹：是一張有權無向連通圖中邊權和最小的生成樹
Prme演算法：
維護一個已經加入最小生成樹的點的集合C，每次通過一條邊連線一個不在這個點集C的點，直到最後形成一個樹形結構
Dist(u)表示u點到點集C中的點的最小距離
每次選擇一個到點集C距離最小的點加入點集C，並通過加入的點去更新未加入的點到點集C的最小距離（因為C中多加了一個點），直到n個點全部加入點集C或沒有點能夠加入（不能構成連通圖）。
圖解
前言：已經加入點集C的點標記為藍色，當前加入的點標記為紅色，被當前加入的點更新的dist標記為紅色。
初始：加入一個初始點A，並通過A更新dist
| u | A | B | C | D | E | F |
| dist(u) | 0 | 3 | 5 | inf | inf | inf |
加入第二個點B：B到點集C距離最小，並通過B更新dist
| u | A | B | C | D | E | F |
| dist(u) | 0 | 3 | 1 | 8 | 3 | inf |
加入第三個點C：C到點集C距離最小，並通過C更新dist
| u | A | B | C | D | E | F |
| dist(u) | 0 | 3 | 1 | 8 | 3 | inf |
加入第四個點E：E到點集C距離最小，並通過E更新dist
| u | A | B | C | D | E | F |
| dist(u) | 0 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 |
加入第五個點F：F到點集C距離最小，並通過F更新dist
| u | A | B | C | D | E | F |
| dist(u) | 0 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 |
加入第六個點D：D到點集C距離最小，並通過D更新dist
| u | A | B | C | D | E | F |
| dist(u) | 0 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 |
點全部加入點集，Prim演算法結束。
複雜度分析：
總共需要加入n個點，每次需要遍歷dist陣列找最小值，並通過該點更新未加入點集的dist值，即列舉該點連出的邊更新對應的dist，故複雜度為：
O（n*n）+ = O（n*n + m）（mi為每個點連出的邊的條數，總和為總邊數）
虛擬碼：
int prim()
{
memset(dis, 127, sizeof(dis)); //初始設定為正無窮
memset(vis, 0, sizeof(vis)); //初始設定點均不在點集中,點集為空
ans = 0, cnt = 0; //初始權值為0
dis[1] = 0; // 1加入點集
while (1)
{
int u = -1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (vis[i] == 0 && dis[i] < (1 << 30)) // i點不在點集中並且與點集中的點聯通
{
if (u == -1 || dis[i] < dis[u]) // u==-1 ->第一個點可以更新到點集最近的點
{
u = i; //更新最近的點
}
}
}
if (u == -1)
break; //如果不能找到加入點集的點，則結束演算法
cnt++, ans += dis[u]; //點集中點的個數+1，ans加上u連入點集的邊權
vis[u] = true; // vis加入點集
for (auto it : a[u])//a[u]為以u連出的邊的點的集合，v為相連的點，w為邊權
{
dis[it.v] = min(dis[it.v], it.w); //通過點v連出的邊更新不在點集的點的dist值
}
}
if (cnt == n)
return ans; //能夠加入n個點構成連通圖，生成樹則返回權值
else
return -1; //不能形成生成樹
}
模板題
題目連結：
題目描述：
給你一張簡單無向連通圖，邊權都為非負整數。你需要求出它的最小生成樹，只需要輸出邊的權值和即可。
圖用以下形式給出：
第一行輸入兩個整數 n,m，表示圖的頂點數、邊數，頂點編號從 1 到 n。
接下來 m 行，每行三個整數 x,y,z 表示 x 與 y 之間有一條邊，邊權為 z。
輸入格式：
第一行兩個整數 n,m。
接下來 m 行，每行有三個整數，代表一條邊。
輸出格式：
輸出一個數，表示最小生成樹的權值和。
資料規模：
對於所有資料，保證 2≤n≤1000,n−1≤m≤100000,1≤x,y≤n,x≠y,1≤z≤10000
樣例輸入：
4 4
1 2 1
2 3 3
3 4 1
1 4 2
樣例輸出：
4
詳見程式碼：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dis[100009], cnt, ans, n, m; // dis為點到點集的最小距離，cnt為點集中點的個數，ans為當前的邊權和
bool vis[100009];
struct node
{
int v, w;
};
vector<node> a[100009]; //存圖
int prim()
{
memset(dis, 127, sizeof(dis)); //初始設定為正無窮
memset(vis, 0, sizeof(vis)); //初始設定點均不在點集中,點集為空
ans = 0, cnt = 0; //初始權值為0
dis[1] = 0; // 1加入點集
while (1)
{
int u = -1;
for (int i = 1; i <= n; i++) //遍歷找未加入點集的最小距離的點
{
if (vis[i] == 0 && dis[i] < (1 << 30)) // i點不在點集中並且與點集中的點聯通
{
if (u == -1 || dis[i] < dis[u]) // u==-1 ->第一個點可以更新到點集最近的點
{
u = i; //更新最近的點
}
}
}
if (u == -1)
break; //如果不能找到加入點集的點，則結束演算法
cnt++, ans += dis[u]; //點集中點的個數+1，ans加上u連入點集的邊權
vis[u] = true; // vis加入點集
for (auto it : a[u])
{
dis[it.v] = min(dis[it.v], it.w); //通過點v連出的邊更新不在點集的點的dist值
}
}
if (cnt == n)
return ans; //能夠加入n個點構成連通圖，生成樹則返回權值
else
return -1; //不能形成生成樹
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
node t1, t2; //無向圖存邊
t1.v = v, t1.w = w;
a[u].push_back(t1); // u->v 邊權為w
t2.v = u, t2.w = w;
a[v].push_back(t2); // v->u 邊權為w
}
cout << prim();
}參考文獻：
2022 Namomo Spring Camp Div2 Day10 直播課
ending
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