最小生成樹的性質與prim演算法（C++實現）

1、最小生成樹（Minimum Spanning Tree, MST）的性質

在一個給定的無向圖G(V,E）中求一棵樹T，使得這棵樹擁有圖G中的所有頂點，且所有邊都是來自圖G中的邊，並且滿足整棵樹的邊權之和最小。

（1）最小生成樹是一棵樹，因此其邊數等於頂點數減去1，且樹內一定不會有環
（2）對給定的圖G(V,E)，最小生成樹可能不唯一，但是邊權之和一定是唯一的（最小）
（3）因為最小生成樹是由無向圖生成的，因此其根節點可以是這棵樹上的任意一個節點。

2、prim演算法求解最小生成樹

prim演算法 – 普里姆演算法

基本思想：對圖G(V,E)設定集合S，存放已經被訪問的頂點，然後每次從集合V-S（即未被訪問的節點集合）中選擇與集合S的最短距離最小的一個頂點（記為u）,訪問u，並將其加入集合S。之後，令頂點u為中介點，優化所有從u能到達的頂點v與集合S之間的距離。這樣的操作執行n次（n為頂點個數），直到集合S已包含所有頂點。

prim演算法和Dijsktra演算法的思想大致相同，關於Dijkstra演算法可以參考：Dijkstra(迪傑斯特拉)演算法： 求單源最短路徑（C++實現）

以下是使用鄰接矩陣實現圖，並實現prim演算法：

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXV = 1000;
const int INF = 1000000000;

int n; // 頂點個數
int G[MAXV][MAXV]; // 圖的鄰接矩陣表示
int d[MAXV];     // 記錄頂點與集合S的距離，初始化為INF，表示不可達
bool vis[MAXV] = { false }; // 標記陣列，true - 表示已訪問，即集合S

int prim() {
    fill(d, d + MAXV, INF);
    d[0] = 0; // 預設零號為最小生成樹的根節點，也可以選擇其他節點作為根節點
    int ans = 0; // 存放最小生成樹的邊權
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int u = -1, MIN = INF;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (vis[j] == false && d[j] < MIN) {
                u = j;
                MIN = d[j];
            }
        }
        if (u == -1) return;
        vis[u] = true;
        ans += d[u];  // 將當前與集合S距離最小的邊加入最小生成樹
        for (int v = 0; v < n; ++v) {
            if (vis[v] == false && G[u][v] != INF && G[u][v] < d[v]) {
                d[v] = G[u][v];  // 以u為中介點可以使v離集合S更近
            }
        }
    }
    return ans; // 返回邊的權值
}

以下是使用鄰接表實現圖，並實現prim演算法：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXV = 1000;
const int INF = 1000000000;

struct node {
    int v;   // 目標頂點
    int dis; // 邊權值
};

int n;  // 頂點個數
int d[MAXV]; // 記錄頂點與集合S的距離，初始化為INF，表示不可達
vector<node> adj[MAXV]; // 鄰接表實現圖
bool vis[MAXV] = { false }; // 用來表示頂點是否被訪問，如果已訪問，就表示處於集合S中

int prim() {
    fill(d, d + MAXV, INF);
    d[0] = 0;   // 以0號節點作為最小生成樹的根節點
    int ans = 0;   // 記錄最小生成樹的邊權之和
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int u = -1, MIN = INF;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (vis[j] == false && d[j] < MIN) {
                u = j;
                MIN = d[j];
            }
        }
        if (u == -1) return -1; // 說明剩下的節點無法與集合S連通
        vis[u] = true;  // 將當前節點加入集合S中，即已被訪問的節點
        ans += d[u];    // 記錄邊權之和
        for (int j = 0; j < adj[u].size(); ++j) {
            int v = adj[u][j].v;       // 從 u 可以到達的頂點 v
            int dis = adj[u][j].dis;   // u - v 之間的距離
            if (vis[v] == false && dis < d[v]) {
                d[v] = dis; // 以u為中介點，可以使v到集合S的距離減少
            }
        }
    }
    return ans;
}

謝謝閱讀

參考《演算法筆記》