資料結構與演算法之最好學的最小生成樹

Simon5ei發表於2020-09-28
資料結構演算法

 

數缺形時少直觀，形缺數時難入微。

——華羅庚

序

最小生成樹問題是我在各項圖論問題中最先理解與解決的，其目的就是在連通圖中選擇出：

使得各點構成聯通的最小邊權的邊集

其中用到的資料結構與演算法也是相對很好理解的並查集和Kruskal演算法，我在我之前的文章小話資料結構-圖 (聚焦與於實現的理解)也有提到過，現在再來系統的闡述一下這問題的解決思路。

並查集

並查集是一種樹型的資料結構，用於處理一些不相交集合的合併及查詢問題。

並查集是一個寫法簡單，經常使用到的資料結構，主要操作有以下三種

初始化操作

int p[N]; //儲存每個點的祖宗節點
​
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        p[i] = i;// 初始化，節點編號是1~n
​

 

查詢函式

int find( int x ){
        if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
        return p[x];//返回的是x的祖宗節點
    }

 

合併操作

p[find(a)] = find(b);//將a加入b的祖宗的集合

 

並查集還可以維護每一個子集的大小、或是自子集到祖宗節點的距離，給出以下程式碼，只是使用Kruskal演算法只需要使用樸素的並查集就可以了。

    int p[N], size[N];//p[]儲存每個點的祖宗節點, size[]表示祖宗節點所在集合中的點的數量
​
    int find(int x){
        if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
        return p[x];
    }
​
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){// 初始化，節點編號是1~n
        p[i] = i;
        size[i] = 1;
    }
​
    // 合併a和b所在的兩個集合並儲存集合中元素個數：
    size[find(b)] += size[find(a)];
    p[find(a)] = find(b);

 

    
int p[N], d[N];//p[]儲存每個點的祖宗節點, d[x]儲存x到p[x]的距離
​
    int find(int x){
        if (p[x] != x){
            int u = find(p[x]);
            d[x] += d[p[x]];//繼承偏移量
            p[x] = u;
        }
        return p[x];
    }
​
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){// 初始化，節點編號是1~n
        p[i] = i;
        d[i] = 0;
    }
​
    // 合併a和b所在的兩個集合：
    p[find(a)] = find(b);
    d[find(a)] = distance; // 初始化find(a)的偏移量

 

Kruskal演算法【O(mlogm)】

這個頂著一個高階名字的針對解決最小生成樹的演算法，也就是一個徹頭徹尾的貪心思想的演算法，基本的步驟如下

①：將所有邊按照權值從小到大排序

②：將所有邊依次放入圖中，如果沒有連入新的點，則丟棄不要。

③：當整個圖聯通時，返回結果

這裡給一張別人部落格裡非常直觀的動圖

在②步驟中，並查集就可以發揮出其作用，快速的判定出當前選擇的邊的點是否在一個集合中，從而方便的實現演算法。

那我們直接用程式碼來實現：

int n, m;
int p[N];
​
struct Edge{
    int a, b, w;
}edges[M];
​
int find(int x){
    if (p[x] != x) 
        p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
​
int kruskal(){
    sort(edges, edges + m);//排序
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        p[i] = i;
    int res = 0, cnt = 0;//res記錄權值，cnt記錄已選擇的邊數
    for (int i = 0; i < m; i ++ ){
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
​
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b) {//將選擇的邊併入圖中
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }
​
    if (cnt < n - 1) return INF;//若結束後不能使整個圖聯通，則無法求出結果
    return res;
}

 

至此，kruskal演算法就成功實現了，可以根據實際情況改變部分引數，從而獲得需要求解的部分。

希望我的拋磚引玉能引起更多的思考?!

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