最小生成樹：Kruskal演算法和Prim演算法

taixian發表於2024-03-25

首先區別一下圖跟樹：

樹不會包含環，圖可以包含環。
圖的生成樹其實就是在圖中找一棵包含圖中的所有節點的樹。專業點說，生成樹是含有圖中所有頂點的無環連通子圖。

最小生成樹就是再所有可能的生成樹中，權重和最小的那棵生成樹就叫最小生成樹(注意：最小生成樹有n-1條邊)。

Kruskal演算法和Prim演算法都是用於解決圖的最小生成樹（Minimum Spanning Tree，簡稱MST）問題的經典演算法。在這個問題中，我們需要找到一個圖中的最小生成樹，即包含所有節點但總權重最小的子圖（B站有up主做了很易懂的動畫：【最小生成樹(Kruskal(克魯斯卡爾)和Prim(普里姆))演算法動畫演示】https://www.bilibili.com/video/BV1Eb41177d1?vd_source=dd65e5938f5f6dab5dc478dad590c5f9）。

Kruskal演算法：

1. 概述：
Kruskal演算法是一種貪婪演算法，它透過不斷選擇邊來構建最小生成樹。它的基本思想是從小到大選擇圖中的邊，並且保證所選邊不構成環。

2. 演算法步驟：

初始化： 將所有的邊按照權重從小到大進行排序。
迴圈選擇邊： 從最小的邊開始，依次考慮每一條邊。
- 如果當前邊不會形成環（即加入該邊後不會導致圖中出現環），則選擇該邊加入最小生成樹。
- 如果形成環，則捨棄該邊。
重複步驟直至生成樹包含了所有的節點。
圖片來自b站up主@WAY_zhong

3. 實現要點：

使用並查集來判斷是否形成環。

Prim演算法：

1. 概述：
Prim演算法也是一種貪婪演算法，它從一個節點開始逐步構建最小生成樹。與Kruskal演算法不同，Prim演算法是基於節點而不是邊的選擇來構建最小生成樹。

2. 演算法步驟：

選擇初始節點： 從圖中任意一個節點開始。
逐步擴充套件生成樹：
- 在當前的最小生成樹集合和其餘節點中選擇一個最小權重的邊，將其加入最小生成樹。
- 將新加入的節點加入到最小生成樹的集合中。
重複步驟直至生成樹包含了所有的節點。

圖片來自b站up主@WAY_zhong

3. 實現要點：

使用優先佇列來選擇最小權重的邊。
用一個集合來記錄已經加入最小生成樹的節點，以避免重複選擇。

例題引入

leetcode 第1584題 https://leetcode.cn/problems/min-cost-to-connect-all-points/description/
題目：給你一個points 陣列，表示 2D 平面上的一些點，其中 points[i] = [xi, yi] 。

連線點 [xi, yi] 和點 [xj, yj] 的費用為它們之間的曼哈頓距離：|xi - xj| + |yi - yj| ，其中 |val| 表示 val 的絕對值。

請你返回將所有點連線的最小總費用。只有任意兩點之間有且僅有一條簡單路徑時，才認為所有點都已連線。
示例 1：

輸入：points = [[0,0],[2,2],[3,10],[5,2],[7,0]]
輸出：20
解釋：
我們可以按照上圖所示連線所有點得到最小總費用，總費用為 20 。
注意到任意兩個點之間只有唯一一條路徑互相到達

Kruskal演算法

思路：

首先，遍歷點集points，構建邊，並將該邊在points中的下標i,j和曼哈頓距離d存入arr
由於Kruskal特點是先新增費用小的邊，所以將arr按照曼哈頓距離從小到大排序
利用並查集構建最小生成樹。如果當前邊的兩個點沒有不在最小生成樹中，則將該邊新增到最小生成樹中，更新邊數和費用，edge+=1，cost+=d，當邊數edge==n-1時，說明構建完最小生成樹。

點選檢視程式碼

class Solution:
    def minCostConnectPoints(self, points: List[List[int]]) -> int:
        res = [] #儲存每條邊在points中的兩個下標和曼哈頓距離
        n = len(points)
        # 計算任意兩點之間的曼哈頓距離，並將邊新增到邊列表中
        for i in range(n):
            x1, y1 = points[i]
            for j in range(i+1,n):
                x2,y2 = points[j]
                res.append([i,j,abs(x2-x1)+abs(y2-y1)]) #i,j表示邊的起點和終點
        #對邊排序
        res.sort(key=lambda x:x[2])
        #初始化並查集
        parent = list(range(n))#列表儲存了每個節點的父節點資訊。
        #在最初的時候，每個節點的父節點都是自身，即parent[i] = i，表示每個節點自成一個集合。
        def find(x):
            if x != parent[x]:
                parent[x] = find(parent[x])
            return parent[x]
        #構建最小生成樹
        edge = 0 #初始化邊數為0
        cost = 0
        for i ,j ,d in res:
            a,b = find(i),find(j) 
            if a!= b: #每次考慮一條邊，檢查該邊的兩個端點是否已經在同一個集合中(即是否構成環)
                parent[b] = a
                edge += 1
                cost += d
            if edge == n-1: #結束條件（最小生成樹邊數為n-1）
                break
        return cost

Prim演算法

思路：
初始化：

d列表用於表示各個頂點與加入最小生成樹的頂點之間的最小距離，初始值設為無窮大。
vis列表表示是否已經加入到了最小生成樹中，初始值設為False。

選擇初始點：

選取第一個點作為起始點，將其距離設為0，表示到自身的距離為0。

逐步擴充套件生成樹：

外層迴圈迭代每個點
內層迴圈在未加入最小生成樹的點中找到距離最小的點。
將找到的點加入最小生成樹，並更新距離列表。
計算當前輪的最小距離，並加入到答案中。

返回結果：

返回連線所有點的最小總費用ans。