Python <演算法思想集結>之初窺基礎演算法

一枚大果殼發表於2022-05-24

1. 前言

資料結構演算法是程式的 2 大基礎結構,如果說資料是程式的汽油,演算法則就是程式的發動機。

什麼是資料結構?

資料在計算機中的儲存方式,資料的儲存方式會影響到獲取資料的便利性。

現實生活中,如果把春夏秋冬的衣物全部堆放在一起,當需要某一季節的衣服時,尋找起來是困難的。

如果分門別類、有條理地存放,則尋找起來會方便很多。

同理,編寫程式時,如果對程式所依賴的資料有條理、易於查詢的方式進行儲存,則在處理資料時,可以提升程式的整體效能。

資料結構準確說是一個空間管理概念,同樣的資料使用不同的資料結構時,對程式會有空間度上的影響。

什麼是演算法?

理解演算法,可以從 2 個角度:

  • 廣義角度: 演算法是指處理資料時,使用的解決思路。只要能達到資料處理目的,任一解決思路都可認為是演算法,也就是說程式中無處不演算法。
  • 狹義角度: 對各種解決問題的經驗和思路進行總結、歸納,形成演算法體系或演算法思想。

研究演算法的意義:

  • 條條道路通羅馬,解決同一個問題的方案往往不只一種,所以,需要在諸多的方案中選擇最佳的一種,這便是研究演算法的意義之一。
  • 系統化演算法理論,以此讓演算法成為一門獨立的體系,當解決問題時,可以遵循問題的特徵快速找到特定的演算法方案。

本文主要是從狹義角度聊聊常見的幾種演算法。

2. 常見演算法思想

2.1 窮舉演算法思想

窮舉演算法也稱為列舉演算法暴力演算法,是一種原始演算法

什麼是原始演算法?

要了解原始演算法的概念,就需要理解計算機的思維模式。

計算機本質是一臺無意識無經驗無知識積累的冰冷機器,它僅有基本的運算能力和判斷能力。當然它還有一個人類無法比擬的強項,運算速度非常快。

人類思維和計算機思維的區別

比如,請找出數列[1,2,3,4,5]中哪 2 個數字相加等於 5。人類思維是直觀性學習思維,可以直接給出答案,計算機不行。

計算機採用的是基本運算判斷的方案。先把12相加然後判斷,如果不是,繼續 把13相加再判斷……

這種思維我們稱為窮舉思維暴力思維

nums = [1, 2, 3, 4, 5]
for i in range(len(nums)):
    for j in range(len(nums)):
        if nums[i] != nums[j] and nums[i] + nums[j] == 5:
            print(nums[i], nums[j])

當數列中的數字很少的時候,人類的思維有優勢,當資料量很大的時候,計算機雖然採用的是笨拙的窮舉思維,但是,因處理速度快,反而要遠遠快於人類計算出來。

本質上講,計算機是無思維的,或者說計算機只會窮舉,所以說,演算法的本質都是引導性的。

什麼是引導性?

就是你問它,它搖頭或點頭,你根據它的點頭或搖頭,繼續問,它繼續點頭或搖頭,直到得到你想到的答案。

窮法演算法的思想:在一個指定的資料範圍之內,通過不停地判斷直到查詢到正確的答案。

可以用 2 句話概括:無迴圈無程式,無條件無邏輯。

現根據窮舉演算法的思路解決一個數學中常見的猜數字題目。

如下圖,每一箇中文漢字表示一個數字,請找出每一個漢字所對應的數字。

sf01.png

窮舉流程:

  • 確定數字範圍: 如果要讓整個表示式有意義,則字所對應的數字不能是 0。所以字的數字範圍應該是 1~9之間,其它的數字範圍可以是 0~9之間。
  • 初始每一個漢字所對應的數字, 然後套用表示式進行計算,如果計算結果符合要求,則宣佈查詢到,否則,更改每一個漢字所對應的數字。

編寫實現:

# 為 我很愛程式設計 中的每一個漢字初始數字起始邊界
wo = 1
hen = 0
ai = 0
bian = 1
chen = 1
count = 0
result = 0
for wo in range(1, 10):
    for hen in range(0, 10):
        for ai in range(0, 10):
            for bian in range(0, 10):
                for chen in range(1, 10):
                    result = chen * pow(10, 5) + chen * pow(10, 4) + chen * pow(10, 3) + chen * pow(10, 2) + chen * pow(
                        10, 1) + chen
                    num1 = wo * pow(10, 4) + hen * pow(10, 3) + ai * pow(10, 2) + bian * pow(10, 1) + chen
                    count += 1
                    if num1 * wo == result:
                        print(wo, hen, ai, bian, chen)
                        print("次數:",count)
                        break
'''
輸出結果
7 9 3 6 5
次數: 62429
'''

上述程式碼為典型的窮舉演算法,程式碼中新增了一個計數器,用來統計最終計算多少次,僅為了觀察。

窮舉演算法的結構有一個較大的特點,往往會出現迴圈語法結構層層巢狀。

在此基礎上思考,是否存在優化方案,可以減少迴圈次數。

題目中還有一個隱式條件,我很愛程式設計中的每一個漢字所對應的數字不能相同。可以把這條件加入到上述程式碼中。

# 為 我很愛程式設計 中的每一個漢字初始數字起始邊界
wo = 1
hen = 0
ai = 0
bian = 1
chen = 1
count = 0
result = 0
for wo in range(1, 10):
    for hen in range(0, 10):
        if hen == wo:
            continue
        for ai in range(0, 10):
            if ai == hen or ai == wo:
                continue
            for bian in range(0, 10):
                if bian == ai or bian == hen or bian == wo:
                    continue
                for chen in range(1, 10):
                    if chen == bian or chen == ai or chen == hen or chen == wo:
                        continue
                    result = chen * pow(10, 5) + chen * pow(10, 4) + chen * pow(10, 3) + chen * pow(10, 2) + chen * pow(
                        10, 1) + chen
                    num1 = wo * pow(10, 4) + hen * pow(10, 3) + ai * pow(10, 2) + bian * pow(10, 1) + chen
                    count += 1
                    if num1 * wo == result:
                        print(wo, hen, ai, bian, chen)
                        print("次數:", count)
                        break
 '''
 輸出結果:
 7 9 3 6 5
 次數: 18666
 '''

2 次程式碼的執行結果可知,迴圈次數減少了 62429-18666=43763次。雖然減少了迴圈次數,因沒有從本質上改變演算法結構,所以說還是最原始的窮舉演算法思路。

2.2 遞推演算法思想

計算機的思維本質是窮舉。但是,人的思維是知識性、探索性思維,可以在解決問題時,發現問題中的規律,並通過計算機語言告訴計算機,這樣可以在計算時繞過一些不必要的計算。

研究演算法的本質就是通過發現資料間的規律、減少窮舉的次數。

什麼是遞推演算法?

簡單講,不斷地利用已知資訊推匯出最終結果。顯然,已知資訊和最終結果資料之間一定要存在某些內在聯絡或規律。

遞推演算法又分為順推法逆推法

  • 順推法: 從已知條件出發,逐步推算出所需要的結果。

  • 逆推法: 從已知的結果出發,用迭代式逐步推算出問題開始,逆推法的本質就是逆向思維。

這裡通過 2 個案例分別介紹順推法逆推法

斐波拉契數列

數列 [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……]就是一個符合斐波拉契關係的數列。

斐波拉契數列特點:

  • 數列中的第 12 位置的數字是 1 ,這是已知資訊
  • 從第 3 個位置開始,其值為前面 2 個數字相加的結果。 知道了第 3 個位置的值,也將知道第 4 個位值,依此類推,可以求解出任何位置的數字。
num1 = 1
num2 = 1
for i in range(12):
    # 推匯出第 3 個位置的數字
    num3 = num1 + num2
    print(num3, end="\t")
    # 為計算後續資料做準備
    num1 = num2
    num2 = num3

求解斐波拉契數列的方案就是典型的順推思維

如有數列[1,4,10,22,46……],分析數列中前面幾個數字的規律,輸出數列的前 20 個數字。分析後可發現第 1 個位置的數字 1是已知資訊,從第 2 個位置開始,其值和前一個值符合2*x+2的線性規律,所以也可以遞推演算法求解。

猴子吃桃

有一隻猴子,第 1 天摘了若干桃子,吃了桃子的一半後又吃了一個,第 2 天也是吃了桃子一半後再吃了一個……如此類推,到第 10 天時,還剩餘 1 只桃子。請問猴子第 1 天摘了多少隻桃子。

分析:

  • 10 天還剩餘 1 只桃子,可以看成是已知資訊,已知資訊屬於結果資訊。

  • 求解第 1 天的桃子總量,需求解的是開始問題。

可以使用逆推演算法,也就是我們經常講的逆向思維解決猴子吃桃問題。

找出資料之間的關係:

  • 101 個桃子,第 10 天的這 1 個桃子是取第 9 天桃子的一半減一個剩餘的。
  • 前一天的桃子除以 21 等於後 1 天的桃子,或者說,前 1 天的桃子等於(後 1 天的桃子加 1)乘以 2

有了數列之間的關係,編碼就很容易了。

# 第 10 天的桃子數,也是已知條件
num = 1
for i in range(9):
    # 向第 1 天推進
    num = (num + 1) * 2
print(num)

類似的問題還有很多:

如猜年齡問題。

5 個小孩子,問第 1 個小孩子的年齡是多少?他說他是第 2 個小孩子的年齡加 2 歲。

問第 2 個小孩子的年齡時,他說他是第3個小孩子的年齡加2歲。

問第3個小孩子的年齡時,他說他是第 4個小孩子年齡加2 歲。

問第 4 個小孩子年齡時,他說他是第 5 個小孩子的年齡加2 歲。

問第 5個小孩子的年齡時,他說他的年齡是 6歲,求解每一個小孩子的年齡。

這個問題也是典型的逆推問題。第 5 個小孩子的年齡是已知的,而且知道與前一個小孩子年齡的關係前一個小孩子的年齡=後一個小孩子年齡+2。滿足數學上的線性函式關係。

一層層回推就能計算出第 1 個小孩子的年齡是:14歲。

age = 6
for i in range(4, 0, -1):
    age = age + 2
    print("第{0}個小孩子的年齡是{1}".format(i,age))
 '''
輸出結果
第4個小孩子的年齡是8
第3個小孩子的年齡是10
第2個小孩子的年齡是12
第1個小孩子的年齡是14
 '''

上述問題雖然簡單,但能精確地描述遞推演算法的思想。

2.3 遞迴演算法

具體解決問題時,總是一種演算法借鑑另一種演算法,或一個演算法中融入另一種演算法。演算法之間互相交織、迭代而誕生出新的演算法。

前文所說,窮舉才是計算機的本質,其它演算法無非是通過分析問題、發現規律、減少演算法的實施過程中的次數。

什麼是遞迴演算法?

通過不停呼叫函式本身從而達到解決問題的目地。

如現實生活中經常會遇到的問題,我要找到小王的電話號碼,可以幫助理解遞迴過程。

想知道朋友小王的電話號碼,先找到朋友小李小李說他也沒有,但是他會幫問問小張,小張說他也沒有,他會問問小胡,小胡說他知道。

這裡麵包括 2 條線。

  • 遞進線: -(問)->小李-(問)->小張-(問)->小胡(結果)。
  • 回溯線: 小胡-(結果)->小張-(結果)->小李-(結果)->我。

遞迴演算法的特點:

  • 通過遞進線尋求幫助。遞推線的最終必須有能得到幫助的時候(如最後小胡知道小王的電話號碼),否則會成為死結。表現在編碼實施過程中需要有呼叫終止的時候。
  • 通過回溯線求解出原始問題。

前面的斐波拉契數列也可以使用遞迴演算法解決。比如說,想知道在第 12 位置的數字是多少。

  • 遞進線:求數列第 12位置的值,求助於第 11位置的值,然後再求助於第 10的值, 一至求助到第 1,2位置。
  • 回溯線:通過回溯求解出原始問題。
def fb(pos):
    if pos == 1 or pos == 2:
        # 求助的終點
        return 1
    # 求助
    return fb(pos - 1) + fb(pos - 2)
res = fb(12)
print(res)

求解年齡的問題也可以使用遞迴演算法實現。

def get_age(number):
    if number == 5:
        return 6
    return get_age(number + 1) + 2
print(get_age(1))

遞迴演算法可以用於 2 類問題的求解:

  • 替代迴圈語法結構。一個函式就是一個邏輯實現的封裝,反覆呼叫自己,則可認為重複執行相同邏輯。

    遞迴比迴圈的效能低下。能使用循壞解決的問題就不要使用遞迴。

  • 一個看似複雜的問題,其實最終答案歸結到一個小問題上,如求階乘、斐波拉契之類的問題。

    遞迴更多應用於此型別問題的求解。

斐波拉契求年齡的問題即可以使用前文的遞推演算法思想實現,也可以使用遞迴演算法實現。說明:

  • 解決一個問題不能拘泥一種方案。

  • 演算法與演算法之間會有重疊、借鑑、融合之處。

    任何語言都提供有遞迴呼叫方式。可以利用遞迴的特點對資料進行處理。

遞迴的底層依賴於棧資料結構,遞迴的具體細節本文不做太多講解,本文意在概括常見演算法。

在演算法理論中,回溯本身就是一種演算法方案,可獨立解決很多實際問題。

回溯法是計算機解題中常用的演算法,很多問題無法根據某種確定的計演算法則來求解,但可以利用回溯的技術求解。回溯法是搜尋演算法中的一種控制策略。

它的基本思想是:從問題的某一種狀態(一般是預設的初始狀態)出發,搜尋從這種狀態出發所能達到的所有“狀態”,當一條路走到“盡頭”的時候,先退幾步,接著從另一種可能的“狀態”出發,繼續搜尋,直到所有的“路徑”都嘗試過。

回溯思路在我們在現實生活中無處不在,對此體現的較具體的就是下棋,還有一個典型的應用就是走迷宮。

因回溯已經內建在遞迴演算法中,一般需要使用回溯解決的問題,都會用到遞迴。

2.4 分治思想

將一個計算複雜的問題分為若干子問題來進行求解,然後合併各個小問題得到原始問題的最終求解。

分治演算法的特點:

  • 原始問題和分解出來的子問題的問題形式相同,只是資料規模不相同,也就是說無論是原始問題,還是分解後的子問題,都在解決同一個問題。
  • 分解出來的子問題具有完全獨立性,子問題是原始問題的縮影。

分治演算法實時有 2 個過程:

  • 分治: 原始問題能分解成若干較小的相同問題,子問題因規模較小,更容易求解到答案。
  • 合併: 合併子問題得到原始問題的求解。

因子問題與原始問題相同,一般會使用遞迴演算法多次迭代。

二分查詢以及快速排序,都是分治的思想的應用。

二分查詢的具體實現過程,請查閱我的博文:https://blog.51cto.com/gkcode/5250956

快速排序的具體的實現過程,請查閱我的博文:https://blog.51cto.com/gkcode/5195936

2.5 貪心演算法思想

貪心演算法總是做出在當前看來最好的選擇,並從不整體最優考慮,只是區域性最優秀。雖然貪心演算法總是從區域性最優求解,但有時也有可能讓最終求解也是最優的。

貪心演算法的特點:

  • 不能保證最後的解是最優的。

  • 不能用來求最大或最小解問題。

  • 只能求滿足某些約束條件的可行解。

貪婪演算法最典型的案例:找零錢。

問題描述:在超市購物時,收銀員找零錢時,如何使找回零錢的紙幣數最少。

貪心演算法的思路是從最大面值的幣種開始,按遞減的順序考慮各種幣種。也就是先儘量用大面值的幣種,當不足大面值幣種的金額時才去考慮下一種較小面值的幣種。

這裡的貪心表現在最大可能使用最大金額的幣種。顯然,貪心演算法在此問題上是可行的。

編碼實現:

假設人民幣有 1005020105210.50.1幾種面額,且數量無限,找零錢時,請儘量實現找給顧客的零錢所用到的幣種的總數量最少。

# 幣種
bi_zhongs = [100, 50, 20, 10, 5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1]
# 記錄最終結果
dic = {}

# 找霍
lq = 68.9
# 為了便於計算,擴大100倍
lq = lq * 100
for i in range(len(bi_zhongs)):
    if lq >= bi_zhongs[i] * 100:
        # 計算張數
        count = lq // (bi_zhongs[i] * 100)
        dic[bi_zhongs[i]] = int(count)
        # 餘額
        lq = lq % (bi_zhongs[i] * 100)
    if lq == 0:
        break
# 輸出每一種幣種的數量
print(dic)
'''
輸出結果:
{50: 1, 10: 1, 5: 1, 2: 1, 1: 1, 0.5: 1, 0.2: 2}
'''

3. 總結

本文介紹了常見的幾種基礎演算法 ,除些之外,還有更多演算法思想。如動態規劃、摸擬思想……限於篇幅原因,本文中即不一一羅列,也不深研演算法內在細節。

後續會為某些經典演算法單獨開文,詳細介紹其演算法的微妙之處。

萬變不離其宗,研究演算法時即要做到能對各種演算法獨立分析,又要做到融合貫通。

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