一、定義
二分查詢也稱折半查詢（Binary Search），它是一種效率較高的查詢方法。但是，折半查詢要求線性表必須採用順序儲存結構，而且表中元素按關鍵字有序排列。
二、查詢過程
在一個有序序列中，取中間值把序列分成兩邊，先看中間值，如果中間值小於要查詢的值，那麼說明目標值一定在
右邊；如果中間值大於目標值，那麼目標值一定在左邊；如果中間值等於目標值，那麼查詢完成。
以猜數字遊戲為例，小明想一個0-1000的數，小紅來猜。
小明選的是623為例：
小紅：大於500嗎？
小明：yes
小紅：那麼一定在[501，1000]之間，大於750嗎？
小明：no
小紅：那麼一定在[501，750]之間，大於625嗎？
小明：no
小紅：那麼一定在[501，625]之間，大於563嗎？
小明：yes
小紅：那麼一定在[564，625]之間，大於594嗎？
小明：yes
小紅：那麼一定在[595，625]之間，大於610嗎？
小明：yes
小紅：那麼一定在[611，625]之間，大於618嗎？
小明：yes
小紅：那麼一定在[619，625]之間，大於622嗎？
小明：yes
小紅：那麼一定在[623，625]之間，大於624嗎？
小明：no
小紅：那麼一定在[623，623]之間，你想的數字是623
小明：yes。
對於1-1000之間的猜數字遊戲，最多隻需要10次就能找到。
二分查詢演算法的時間複雜度是O(logN)
三、框架
二分查詢的框架大致如下：
public int searchInsert(int[] nums, int target) {
int l = 0;
int r = nums.length-1;
int mid = l + (r-l)/2;
while(l < r){
//能找到，直接返回元素下標
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if(nums[mid] < target){
l = mid + 1;
mid = l + (r-l)/2;
}
else{
r = mid-1;
mid = l + (r-l)/2;
}
}
//未找到
return -1;
}
注意：
1、中間值mid取法
應該用 mid = l + （r-l）/ 2 ，而不是 mid = (l + r) / 2，因為如果 l 和 r都很大，那麼（l + r）將會溢位整數範圍。
2、偶數個數的中間值
如果數字的總數是偶數，那麼中間值有兩個，按照 mid = l + （r-l）/ 2 算的話，中間值應該是左邊那個。例如對於1、2、3、4，l = 0，r = 3，
mid = 0 + （0+3）/ 2
=0 + 1
= 1。
因為mid、l、r都是int型別，如果有小數部分，會自動捨棄。
四、例題
1、搜尋插入位置
給定一個排序陣列和一個目標值，在陣列中找到目標值，並返回其索引。如果目標值不存在於陣列中，返回它將會被按順序插入的位置。
你可以假設陣列中無重複元素。
示例 1:
輸入: [1,3,5,6], 5
輸出: 2
示例 2:
輸入: [1,3,5,6], 2
輸出: 1
示例 3:
輸入: [1,3,5,6], 7
輸出: 4
示例 4:
輸入: [1,3,5,6], 0
輸出: 0
題目來源：力扣（LeetCode）
解題思路：先使用二分查詢，如果能找到，直接返回元素下標；
接下來討論不能找到的情況：
第一種情況，二分查詢結束後，目標值大於mid
以[1，3，5，6，9] 和目標值 4為例
初始狀態：
第一遍二分查詢結束：
第二遍二分查詢結束：
兩遍查詢結束之後，發現mid小於目標值4，此時，4應該插入在3後面，所以返回 mid+1。
第二種情況，二分查詢結束後，目標值小於mid
以[1，3，5，6，9] 和目標值 7為例，
初始狀態：
第一遍二分查詢後：
第二遍二分查詢後：
兩遍查詢結束之後，發現mid大於目標值7，此時，7應該插入在9前面，所以返回 mid。
題解程式碼：
public int searchInsert(int[] nums, int target) {
int l = 0;
int r = nums.length-1;
int mid = l + (r-l)/2;
while(l < r){
//能找到，直接返回元素下標
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if(nums[mid] < target){
l = mid + 1;
mid = l + (r-l)/2;
}
else{
r = mid-1;
mid = l + (r-l)/2;
}
}
//第一種情況，二分查詢結束後，目標值大於mid
if(nums[mid] < target)
return mid+1;
//第二種情況，二分查詢結束後，目標值小於mid
else
return mid;
}
2、搜尋二維矩陣
題目來源：力扣（LeetCode）
解題思路：
既然題目提到了要編寫一個高效的演算法，那麼用兩個for迴圈暴力列舉肯定是不行的。
再看一遍題目，該矩陣具有以下特性：同一行，右邊的數要大，同一列，下面的數要大。由此我們可以發現，如果我們取一個數作為右上角，那麼比該數小的一定在其左邊的列之中，比該數大的一定在該數的下面的行之中。
例如：
對於下面矩陣，我們取7作為右上角的數，那麼比7小的一定在第0、1、2列，比7大的一定在第1、2、3行。
假設我們要找11，那麼首先取右上角7，發現7比11小，因為7是第一行最大的，所以第一行不可能再找到11，剔除第0行；從第1行開始找，同樣，從右上角20開始看，20大於11，所以第3列一定不可能找到11，因此我們剔除第3列；之後，16作為右上角，16大於11，剔除第2列；11作為右上角，找到目標數。
簡單來說就是：從右上角開始找，
右上角的數 = 目標，結束查詢，返回true；
右上角的數 < 目標，剔除該行；
右上角數 > 目標，剔除該列。
程式結束也未找到，返回false。
題解程式碼：
public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
for(int i = 0;i < matrix.length;i++){
for(int j = matrix[0].length-1;j >=0;j--){
//從右上角開始搜尋
//如果右上角數字為目標數字，返回true
if(matrix[i][j] == target)
return true;
//如果右上角數字小於目標數字
//說明該行都小於目標數字，剔除該行
else if(matrix[i][j] < target)
break;
//如果右上角數字大於目標數字
//說明該列都大於目標數字，剔除該列
else
continue;
}
}
//沒有找到
return false;
}
原文連結：邱子林的部落格