演算法基礎 - 列舉/遞迴/動歸/深廣搜/二分/貪心

筆記內容來源課程 https://www.coursera.org/learn/suanfa-jichu

列舉

概念

• 基於已有知識進行答案猜測的求解策略
  • 對解集合中的每一項根據條件進行檢驗
  • 不重複檢驗
• 很多情況下列舉意味著使用迴圈
• 一般性 + 完備性

分析

原子 - 區域性 - 整體

• 拆分出原子操作，分析每個原子操作的影響、規律
• 確定列舉物件、範圍和判定條件
• 逐一列舉可能的解並驗證是否是問題的解
• 關鍵問題
  • 給出解空間，建立簡潔的數學模型，減少列舉的狀態數目
  • 減少搜尋空間，縮小各變數取值範圍，避免不必要的計算
  • 合適的搜尋順序，簡化過程，及早排除明確的錯誤答案

技巧

• 如果存在某個區域性，一旦區域性的狀態被確定，剩餘部分的狀態只能是確定的一種或較少種，那麼只需列舉區域性狀態。固定部分，確定規律
• 儘可選使用stl演算法和合適的資料結構來縮減時間
• 好的排序和處理順序非常重要

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遞迴

概念

• 函式直接或間接的呼叫自身
• 與列舉的比較
  • 列舉的子問題之間是平行的、沒有相互依存關係的，遞迴的子問題是縱向依存的

分析

• 能劃分成相同性質的子問題，通常體現為自相似性
• 關鍵
  • 遞迴式：如何劃分成子問題
  • 遞迴出口：如何確定最小子問題
  • 界函式：如何保證規模縮減

技巧

• 遞迴函式使用狀態變數引數記錄狀態變化過程，當拆分出的子問題不具備自相似性時，可以通過增加狀態引數來增加限制
• 使用狀態表維護狀態
• 遞迴容易發生大量重複計算，使用記錄表避免重複計算
• 用棧代替遞迴以提高效率
• 遞迴轉化成遞推（自頂向下轉換成自底向上）
• 遞迴轉化為動態規劃

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動態規劃

性質

• 最優子結構，問題最優解包含的子問題的解也是最優的。（最優不一定是明顯的，可能只能在相鄰一層的子問題中體現）
• 無後效性。當某些狀態值確定後，此後所需求出的狀態值就只和這些狀態有關，而與此前通過何種路徑經過何種狀態無關
• 人人為我/我為人人遞推型動態規劃

分析

• 將原問題分解為子問題
  • 子問題與原問題形式相同或類似，但規模更小
  • 子問題求出的解要記錄，保證每個子問題只求解一次
• 確定狀態
  • 和子問題相關的各個變數的一組取值是一個狀態
• 確定初始/邊界狀態的值
  • 即填充狀態陣列的部分內容
• 確定狀態轉移方程
  • 如何從已知的狀態求出另一狀態，即利用狀態陣列已有內容計算需要填充的其他內容
  • 類似於遞迴

技巧

• 每次只拆除單獨一個操作單位，來尋找狀態轉移方程
• 若無明顯確定的初始狀態，可全部初始化為某個一般值，並按照某種排序順序進行遞遍歷更新
• 若無法形成遞推關係，則考慮細化引數列表，增加限制條件

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深度&廣度優先搜尋

比較

• 廣搜一定能獲得最優解，但具有盲目性，在搜尋過程中需要大量儲存空間，適合用queue
• 深搜需要優化搜尋範圍，但搜尋過程需要的空間較小，適合用stack

技巧

• 使用廣搜時，在將節點加入佇列前，可以通過對全域性陣列狀態表(Open/Closed)進行更新或是在結構型別中設定其父指標的方式，在搜尋結束後還原解的路徑
• 雙向廣度優先搜尋能明顯減少搜尋樹的寬度

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二分查詢

• 前提：已排序的序列

技巧

• 最小值問題 》判定性問題（二分判定在某個值時能否滿足條件）

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貪心演算法

• 求解時，做出僅當前最好的選擇
• 不能保證全域性最優
• 關鍵是貪心策略的選擇
• 自頂向下分解為子問題
• 具有無後效性

分析

• 建立數學模型
• 分解成子問題
• 對每一子問題求得區域性最優解
• 合併子問題

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其他技巧

設定冗餘陣列

• 通過填充冗餘陣列，減少邊界判斷程式碼
• 是以空間換時間的方式，通常是利大於弊的

使用一個自增變數進行序列列舉

• 通過迴圈自增變數，獲取各個位的01情況來獲得一個全部情況列舉
• 或者維護一個陣列，在每次自增時判斷是否需要進位

壓縮多個01狀態至單個變數

• 使用一個變數的各個位分別表示每個狀態，使用時用&按位與運算分別與1/2/4/8…計算後與0比較進行判斷

剪枝

• 型別
  • 最優化剪枝（先考慮，大多與演算法整體處理思路/順序有關）
  • 可行性剪枝（後考慮，大多與處理過程中的區域性判斷有關）
• 優先進行列舉數量少的步驟進行嘗試和排除
• 避免計算機會出現（人能輕易規避）的無效重複
• 具體問題具體分析，發掘有效剪枝方式

字典序存取

• 即給定排列求序號/給定序號求排列
  • 採用從頭按位固定計算排列總數的方法逐位推導
• 是否按有效序列壓縮/時間空間權衡
  • 狀態數較小時，直接方式編碼，以空間換時間
  • 狀態數較多/採用直接方式會導致大量空間被無效狀態消耗時，用字典序（其他編碼方式），以時間換空間