演算法基礎模板

sxy666666發表於2023-02-20

時空複雜度分析

一般ACM或者筆試題的時間限制是1秒或2秒。在這種情況下，C++程式碼中的操作次數控制在10⁷～10⁸為最佳。下面給出在不同資料範圍下，程式碼的時間複雜度和演算法該如何選擇:

n ≤ 30，指數級別，dfs+剪枝，狀態壓縮dp
n ≤ 100 => O(n³)，floyd，dp，高斯消元
n ≤ 1000 =>O(n²)，O(n²logn)，dp，二分，樸素版Dijkstra、樸素版Prim、Bellman-Ford
n ≤ 10000 => o(n * \(\sqrt{n}\))，塊狀連結串列、分塊、莫隊
n ≤ 100000 => O(nlogn) => 各種sort，線段樹、樹狀陣列、set/map、heap、拓撲排序、dijkstra+heap、prim+heap、Kruskal、spfa、求凸包、求半平面交、二分、CDQ分治、整體二分、字尾陣列、樹鏈剖分、動態樹
n ≤ 1000000 =>O(n)，以及常數較小的O(nlogn)演算法 => 單調佇列、hash、雙指標掃描、並查集，kmp、AC自動機，常數比較小的O(nlogn)的做法: sort、樹狀陣列、heap、dijkstra、spfa
n ≤ 10000000 => o(n)，雙指標掃描、kmp、AC自動機、線性篩素數
n ≤ 109=> o(\(\sqrt{n}\))，判斷質數
n ≤ 1018 => o(logn)，最大公約數，快速冪，數位DP
n ≤ 101000 => o((logn)²)，高精度加減乘除
n ≤ 10100000 => o(logk x loglogk)，k表示位數，高精度加減、FFT/NTT

基礎演算法-模板

排序

//快排
void quick_sort(int q[], int l, int r){
    if (l >= r) return;
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while (i < j){
        do i ++; while (q[i] < x);
        do j --; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j);
    quick_sort(q, j + 1, r);
}
//歸排
void merge_sort(int q[], int l, int r){
    if (l >= r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);
    
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++] = q[i ++];
    	else tmp[k ++] = q[j ++];
    while(i <= mid) tmp[k ++] = q[i ++];
    while(j <= r) tmp[k ++] = q[j ++];
    
    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++) q[i] = tmp[j];
}

二分

// 整數二分
bool check(int x){} // 查詢x是否滿足某種性質

// 區間[l, r]被劃分成[l, mid]和[mid + 1, r]時使用:符合條件的第一個位置
int bsearch_1(int l, int r){
    while (l < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;  // check(mid) 判斷 [l,mid] 這個區間是否滿足條件
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 區間[l, r]被劃分成[l, mid - 1]和[mid, r]時使用:符合條件的最後一個位置
int bsearch_2(int l, int r){
    while (l < r){
        int mid = l + r + 1 >> 1; // + 1 的原因是 l + r >> 1 有可能 == l , l = mid 這條就會導致死迴圈
        if (check(mid)) l = mid;  // check(mid) 判斷 [mid,r] 這個區間是否滿足條件
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

// 浮點數二分
double bsearch_3(double l, double r){
    const double eps = 1e-6;	// 查詢的精度
    while (r - l > eps){
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

高精度

// 加法
vector<int> add_plus(vector<int> &a, vector<int> &b){		//陣列元素都是倒置
    if (a.size() < b.size()) return add_plus(b,a);
    vector<int> c;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++){
        t += a[i];
        if (i < b.size()) t += b[i];
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    if (t) c.push_back(t);
    return c;
}
//減法   C = A - B, 滿足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &a, vector<int> &b){
    vector<int> c;
    for (int i = 0, t = 0; i < a.size(); i ++ ){
        t = a[i] - t;
        if (i < b.size()) t -= b[i];
        c.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (c.size() > 1 && c.back() == 0) c.pop_back();
    return c;
}
//高精×低精 C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &a, int b){
    vector<int> c;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size() || t; i ++ ){
        if (i < a.size()) t += A[i] * b;
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while (c.size() > 1 && c.back() == 0) c.pop_back();
    return c;
}
//高精÷低精 A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &a, int b, int &r){
    vector<int> c;
    r = 0;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ){
        r = r * 10 + A[i];
        c.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(c.begin(), c.end());
    while (c.size() > 1 && c.back() == 0) c.pop_back();
    return c;
}

字首和

//一維
s[i] = s[i - 1] + a[i];
[x1,x2]的和 sum = s[x2] - s[x1 - 1];
//二維
s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
[(x1,y1),(x2,y2)]的和 sum = s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1];

差分

//一維差分			思路: 存數按詢問方式操作
給區間[l, r]中的每個數加上c: B[l] += c, B[r + 1] -= c
//二維差分
給以(x1, y1)為左上角，(x2, y2)為右下角的子矩陣中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

位運算

① &: 與 ② |: 或 ③ ^: 異或同0異1 ④ ~: 取反 ⑤ <<: 左移 ⑥ >>: 右移

//求n的二進位制的第k位數字:n >> k & 1; 19 10011
cout << (19 >> 4 & 1) << endl; //1
cout << (19 >> 3 & 1) << endl; //0
cout << (19 >> 2 & 1) << endl; //0
cout << (19 >> 1 & 1) << endl; //1
cout << (19 >> 0 & 1) << endl; //1
//求n的二進位制的最後一位1的位置lowbit(n) = n&-n; 20 10100
cout << (20&-20) << endl;//4

雙指標

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ ){
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
    // 具體問題的邏輯
}
常見問題分類：
    (1) 對於一個序列，用兩個指標維護一段區間
    (2) 對於兩個序列，維護某種次序，比如歸併排序中合併兩個有序序列的操作

離散化

vector<int> alls; // 儲存所有待離散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 將所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重複元素

// 二分求出x對應的離散化的值
int find(int x) // 找到第一個大於等於x的位置{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 對映到1, 2, ...n
}

區間合併

void merge(vector<PII> &segs){
    vector<PII> res;
    sort(segs.begin(), segs.end());
    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs){
        if (ed < seg.first){
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);
    }
    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
    segs = res;
}

資料結構-模板

單連結串列

// head儲存連結串列頭，e[]儲存節點的值，ne[]儲存節點的next指標，idx表示當前用到了哪個節點
int head, e[N], ne[N], idx;
// 初始化
void init(){
    head = -1;
    idx = 0;
}
// 在連結串列頭插入一個數a
void insert(int a){
    e[idx] = a, ne[idx] = head, head = idx ++ ;
}
// 在結點k後插入一個數x
void add(int k, int x){
    e[idx] = x, ne[idx] = ne[k], ne[k] = idx ++ ;
}
// 將頭結點刪除，需要保證頭結點存在
void remove(){
    head = ne[head];
}

雙連結串列

// e[]表示節點的值，l[]表示節點的左指標，r[]表示節點的右指標，idx表示當前用到了哪個節點
int e[N], l[N], r[N], idx;

// 初始化
void init(){
    //0是左端點，1是右端點
    r[0] = 1, l[1] = 0;
    idx = 2;
}

// 在節點a的右邊插入一個數x
void insert(int a, int x){
    e[idx] = x;
    l[idx] = a, r[idx] = r[a];	// 新節點連舊
    l[r[a]] = idx, r[a] = idx ++; // 舊節點連新	
}

// 刪除節點a
void remove(int a){
    l[r[a]] = l[a];
    r[l[a]] = r[a];
}

// 遍歷單連結串列
for (int i = h[k]; i != -1; i = ne[i])
        x = e[i];

單調棧

//常見模型：找出每個數左邊離它最近的比它大/小的數
int stk[N],tt = 0;	// 棧中存資料或下標
for (int i = 1; i <= n; i ++){
    int x; cin >> x;
    while (tt && stk[tt] >= x) tt -- ;	// 左邊比它小的數
    stk[ ++ tt] = i;	// 把當前值放在合適地方
}

單調佇列

//常見模型：找出滑動視窗中的最大值/最小值
int a[N],q[N]; // q[N] 存的是a陣列的下標
int hh = 0, tt = -1;   // hh 隊頭(左) tt 隊尾(右) 
for (int i = 0; i < n; i ++){
    while (hh <= tt && check_out(q[hh])) hh ++ ;  	// 判斷隊頭是否滑出視窗
    while (hh <= tt && check(q[tt], i)) tt -- ; 	// 捨去不合理資料
    q[ ++ tt] = i;					// 把當前資料的座標插入適合的地方
}

KMP

// s[1-m]是長文字，p[1-n]是模式串，m是s的長度，n是p的長度
// 求next
for (int i = 2, j = 0; i <= n; i ++){
    while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
    if (p[i] == p[j+1]) j ++;
    ne[i] = j;
}
// 匹配
for (int i = 1, j = 0; i <= m; i ++){
    while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
    if (s[i] == p[j + 1]) j ++;
    if (j == n) {
        printf("%d ",i - n);
        j = ne[j];
    }
}

Tree樹

int son[N][26], cnt[N], idx;
// 0號點既是根節點，又是空節點
// son[][]儲存樹中每個節點的子節點	【實質是多開*26空間記錄每個節點的資訊】【這個26是根據提目要求具體有所變化】
// cnt[]儲存以每個節點結尾的單詞數量
// idx 節點編號

// 插入一個字串
void insert(char *str){
    int p = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i ++ ){
        int u = str[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx;// 該節點是否存過
        p = son[p][u];
    }
    cnt[p] ++;
}

// 查詢字串出現的次數
int query(char *str){
    int p = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i ++ ){
        int u = str[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) return 0;
        p = son[p][u];
    }
    return cnt[p];
}

並查集

(1)樸素並查集：
    int p[N]; //儲存每個點的祖宗節點

    // 返回x的祖宗節點
    int find(int x){
        if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);	// 路徑壓縮
        return p[x];
    }

    // 初始化，假定節點編號是1~n
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;

    // 合併a和b所在的兩個集合：
    p[find(a)] = find(b);

(2)維護size的並查集:
    int p[N], size[N];
    //p[]儲存每個點的祖宗節點, size[]只有祖宗節點的有意義，表示祖宗節點所在集合中的點的數量

    // 返回x的祖宗節點
    int find(int x){
        if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
        return p[x];
    }

    // 初始化，假定節點編號是1~n
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        p[i] = i;
        size[i] = 1;
    }

    // 合併a和b所在的兩個集合：
    size[find(b)] += size[find(a)];
    p[find(a)] = find(b);

(3)維護到祖宗節點距離的並查集:
    int p[N], d[N];
    //p[]儲存每個點的祖宗節點, d[x]儲存x到p[x]的距離

    // 返回x的祖宗節點
    int find(int x){
        if (p[x] != x){
            int u = p[x];  // u記錄舊的父節點
			p[x] = find(p[x]); // 路徑壓縮，新父節點變成根節點了
			d[x] += d[u];  // x到新父節點的距離等於x到舊父節點的距離加上舊父節點到根節點的距離
        }
        return p[x];
    }

    // 初始化，假定節點編號是1~n
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        p[i] = i;
        d[i] = 0;
    }

    // 合併a和b所在的兩個集合：
    p[find(a)] = find(b);
    d[find(a)] = distance; // 根據具體問題，初始化find(a)的偏移量

// 240. 食物鏈 ------ (3)維護到祖宗節點距離的並查集
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 50010;
int n, m;
int p[N], d[N];
int find(int x) {
    if (p[x] != x) {
        int u = p[x];  // u記錄舊的父節點
		p[x] = find(p[x]); // 路徑壓縮，新父節點變成根節點了
		d[x] += d[u];  // x到新父節點的距離等於x到舊父節點的距離加上舊父節點到根節點的距離
    }
    return p[x];
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;
    int res = 0;
    while (m -- ){
        int t, x, y;
        scanf("%d%d%d", &t, &x, &y);
        if (x > n || y > n) res ++ ;
        else{
            int px = find(x), py = find(y);
            if (t == 1) {                                       //x和y是同類
                if (px == py && (d[x] - d[y]) % 3) res ++ ;     //如果d[x]=d[y]說明距離相等
                else if (px != py) {                            //更新
                    p[px] = py;
                    d[px] = d[y] - d[x];                        //(d[x]+?-d[y])%3==0
                }
            }else {                                             //x和y不是同類
                if (px == py && (d[x] - d[y] - 1) % 3) res ++ ;
                else if (px != py) {
                    p[px] = py;
                    d[px] = d[y] + 1 - d[x];                    //(d[x]+?-d[y]-1)%3==0
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

堆

// h[N]儲存堆中的值, h[1]是堆頂，x的左兒子是2x, 右兒子是2x + 1
// ph[k]儲存第 k 個插入的點在堆中的位置
// hp[J]儲存堆中下標為 J 的點是第幾個插入的
int h[N], ph[N], hp[N], size;

// 交換兩個點，及其對映關係
void heap_swap(int i, int j){	        // 交換i節點和j節點(附帶更新是第幾個插入的節點)
    swap(ph[hp[i]],ph[hp[j]]);    	//更新 i 和 j ph 資訊 
    swap(hp[i], hp[j]);			//更新 i 和 j hp 資訊
    swap(h[i], h[j]);			//交換 i 和 j 數值
}

void down(int u){	// 向下更新
    int t = u;
    if (u * 2 <= size && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;	// 左孩子
    if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1; // 右孩子
    if (u != t){
        heap_swap(u, t);
        down(t);	// 向下遞迴繼續更新
    }
}

void up(int u){	// 向上更新
    while (u / 2 && h[u] < h[u / 2]){
        heap_swap(u, u / 2);
        u >>= 1;
    }
}

// O(n)建堆
for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);

雜湊表

(1) 拉鍊法
    int h[N], e[N], ne[N], idx;

    // 向雜湊表中插入一個數
    void insert(int x){
        int k = (x % N + N) % N;
        e[idx] = x;
        ne[idx] = h[k];
        h[k] = idx ++;
    }

    // 在雜湊表中查詢某個數是否存在
    bool find(int x){
        int k = (x % N + N) % N;
        for (int i = h[k]; i != -1; i = ne[i])
            if (e[i] == x)
                return true;

        return false;
    }

(2) 開放定址法
    int h[N];

    // 如果x在雜湊表中，返回x的下標；如果x不在雜湊表中，返回x應該插入的位置
    int find(int x){
        int t = (x % N + N) % N;	// N 一般取 大於資料範圍的素數
        while (h[t] != null && h[t] != x){
            t ++ ;
            if (t == N) t = 0;
        }
        return t;
    }

字串雜湊

核心思想：將字串看成P進位制數，P的經驗值是131或13331，取這兩個值的衝突機率低
小技巧：取模的數用2^64，這樣直接用unsigned long long儲存，溢位的結果就是取模的結果

typedef unsigned long long ULL;
ULL h[N], p[N]; // h[k]儲存字串前k個字母的雜湊值, p[k]儲存 P^k mod 2^64

// 初始化
p[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
    h[i] = h[i - 1] * P + str[i];// 這個str[i]只要不是0就行任意值都行，因此不需要轉成1-26
    p[i] = p[i - 1] * P;
}

// 計運算元串 str[l ~ r] 的雜湊值
// 由於h陣列的特殊定義,h陣列前面都是雜湊值的高位,所以l-r的雜湊值可以透過
// 類似, l=123,r=123456,r-l雜湊值等於123456-123000
ULL get(int l, int r){
    return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}

STL

vector:變長陣列,倍增的思想
     vector<int> a(10),a(10,1); // 長度10，且初始化為1
     vector<int> a[10];	// 10個vector
    【size()返回元素個數】   【empty()返回是否為空】   【clear()清空】   【front()/back()】
    【push_back()/pop_back()】   【begin()/end()】   【[陣列]】   【支援比較運算，按字典序】

pair<int, int>
    【first, 第一個元素】   【second, 第二個元素】
    【支援比較運算,以first為第一關鍵字,以second為第二關鍵字(字典序)】
    【p = make_pair(10,20); p = {10,20};】

string，字串
    【size()/length()返回字串長度】  【empty()】  【clear()】
    【substr(起始下標,(子串長度))返回子串】  【c_str()返回字串所在字元陣列的起始地址】

queue, 佇列
    【size()】      【empty()】     【push()向隊尾插入一個元素】     【front()返回隊頭元素】
    【back()  返回隊尾元素】      【pop()  彈出隊頭元素】

priority_queue, 優先佇列，預設是大根堆		【黑科技:插入負數就是小根堆】
    【size()】      【empty()】      【push()插入一個元素】       【top()返回堆頂元素】
    【pop()彈出堆頂元素】    【定義成小根堆的方式：priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;】

stack, 棧
    【size()】 【empty()】  【push()向棧頂插入一個元素】  【top()返回棧頂元素】  【pop()彈出棧頂元素】

deque, 雙端佇列
    【size()】   【empty()】   【clear()】   【front()/back()】    【push_back()/pop_back()】
    【push_front()/pop_front()】    【begin()/end()】    【[陣列/隨機訪問]】

set, map, multiset, multimap, 基於平衡二叉樹（紅黑樹），動態維護有序序列
    【size()】  【empty()】  【clear()】  【begin()/end()】  【++,-- 返回前驅和後繼,時間複雜度 O(logn)】

set(無重複)/multiset(可重複)
    【insert()  插入一個數】  【find()  查詢一個數】  【count()  返回某一個數的個數】
    【erase()】
         (1) 輸入是一個數x，刪除所有x   O(k + logn)
         (2) 輸入一個迭代器，刪除這個迭代器
lower_bound()/upper_bound()
    【lower_bound(x)  返回大於等於x的最小的數的迭代器】
    【upper_bound(x)  返回大於x的最小的數的迭代器】
map/multimap
    【insert()  插入的數是一個pair】   【erase()  輸入的引數是pair或者迭代器】    【find()】
    【[下標索引]  注意multimap不支援此操作。 時間複雜度是 O(logn)】  【lower_bound()/upper_bound()】

unordered_set, unordered_map, unordered_multiset, unordered_multimap, 雜湊表
    和上面類似，增刪改查的時間複雜度是 O(1)
    不支援 lower_bound()/upper_bound()， 迭代器的++，--

bitset, 圧位
    bitset<10000> s;
    ~, &, |, ^
    >>, <<
    ==, !=
    []
    count()  返回有多少個1
    any()  判斷是否至少有一個1
    none()  判斷是否全為0
    set()  把所有位置成1
    set(k, v)  將第k位變成v
    reset()  把所有位變成0
    flip()  等價於~
    flip(k) 把第k位取反

搜尋與圖論-模板

樹與圖的儲存

樹是一種特殊的圖，與圖的儲存方式相同。
對於無向圖中的邊ab，儲存兩條有向邊a->b, b->a。
因此我們可以只考慮有向圖的儲存。

鄰接矩陣: g[a][b]儲存邊a->b

鄰接表:

// 對於每個點k，開一個單連結串列，儲存k所有可以走到的點。h[k]儲存這個單連結串列的頭結點
int h[N], e[N], ne[N], idx;

// 新增一條邊a->b
void add(int a, int b){
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

// 初始化
idx = 0;
memset(h, -1, sizeof h);

樹與圖的遍歷

時間複雜度O(n ＋ m), n表示點數，m表示邊數

深度優先搜尋

int dfs(int u){
    st[u] = true; // st[u] 表示點u已經被遍歷過

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if (!st[j]) dfs(j);
    }
}

寬度優先搜尋

queue<int> q;
st[1] = true; // 表示1號點已經被遍歷過
q.push(1);

while (q.size()){
    int t = q.front();
    q.pop();

    for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if (!st[j]){
            st[j] = true; // 表示點j已經被遍歷過
            q.push(j);
        }
    }
}

拓撲排序

時間複雜度 O(n+m)，n表示點數，m表示邊數

int q[N],d[N]; // q模擬佇列，d記錄入度
bool topsort(){
    int hh = 0, tt = -1;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!d[i])
            q[ ++ tt] = i;	// 度為0的點隊尾入隊

    while (hh <= tt){
        int t = q[hh ++ ];	// 隊頭出隊

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){
            int j = e[i];
            if (-- d[j] == 0)	// 度為0的點入隊
                q[ ++ tt] = j;
        }
    }

    // 如果所有點都入隊了，說明存在拓撲序列;否則不存在拓撲序列。
    return tt == n - 1; // 1 說明有n個節點入過佇列
}

樸素dijkstra演算法

時間複雜是O(n²+m), n表示點數, m表示邊數

int g[N][N];  // 儲存每條邊
int dist[N];  // 儲存1號點到每個點的最短距離
bool st[N];   // 儲存每個點的最短路是否已經確定

// 求1號點到n號點的最短路，如果不存在則返回-1
int dijkstra(){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ){
        int t = -1;     // 在還未確定最短路的點中，尋找距離最小的點
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        // 用t更新其他點的距離
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
        
        st[t] = true;
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

堆最佳化版dijkstra

時間複雜度O(mlogn), n表示點數, m表示邊數

typedef pair<int, int> PII;

int n;      // 點的數量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 鄰接表儲存所有邊
int dist[N];        // 儲存所有點到1號點的距離
bool st[N];     // 儲存每個點的最短距離是否已確定

// 求1號點到n號點的最短距離，如果不存在，則返回-1
int dijkstra(){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});      // first儲存距離，second儲存節點編號

    while (heap.size()){
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;

        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i]){
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

Bellman-ford演算法

時間複雜度O(nm), n表示點數, m表示邊數

int n, m;       // n表示點數，m表示邊數
int dist[N];        // dist[x]儲存1到x的最短路距離

struct Edge{     // 邊，a表示出點，b表示入點，w表示邊的權重
    int a, b, w;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距離，如果無法從1走到n，則返回-1。
int bellman_ford(){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    // 如果第n次迭代仍然會鬆弛三角不等式，就說明存在一條長度是n+1的最短路徑，由抽屜原理，路徑中至少存在兩個相同的點，說明圖中存在負權迴路。
    for (int i = 0; i < n; i ++ ){
        for (int j = 0; j < m; j ++ ){
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            if (dist[b] > dist[a] + w)
                dist[b] = dist[a] + w;
        }
    }

    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    return dist[n];
}

求邊數限制的最短路演算法透過k次鬆弛，所求得的最短路，就是邊數限制的最短路

const int N = 510, M = 10010;
struct Edge{
    int a, b, c;
}edges[M];
int n, m, k;
int dist[N];
int last[N];

void bellman_ford(){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);	// 初始化
    dist[1] = 0;
    
    for (int i = 0; i < k; i ++ ){
        // 為了防止發生串聯 如: 1→2→3,在一次迴圈裡1更新2,2有就可能更新3,這是不允許的，所以儲存初始dist陣列
        memcpy(last, dist, sizeof dist);
        for (int j = 0; j < m; j ++ ){
            auto e = edges[j];
            dist[e.b] = min(dist[e.b], last[e.a] + e.c);  // 鬆弛
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for (int i = 0; i < m; i ++ ){
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        edges[i] = {a, b, c};
    }
    bellman_ford();
    
	//不可dist[n]==0x3f3f3f3f 因為有可能出現1到不了2,2到3為負數,所以大於無窮的一半就可以判定無法到達
    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) puts("impossible");
    else printf("%d\n", dist[n]);
    return 0;
}

spfa 演算法

佇列最佳化的Bellman-Ford演算法: 時間複雜度平均情況下O(m)，最壞情況下O(nm), n表示點數, m表示邊數

int n;      // 總點數
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 鄰接表儲存所有邊
int dist[N];        // 儲存每個點到1號點的最短距離
bool st[N];     // 儲存每個點是否在佇列中

// 求1號點到n號點的最短路距離，如果從1號點無法走到n號點則返回-1
int spfa(){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = true;	// st 陣列記錄哪些點在佇列裡

    while (q.size()){
        auto t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i]){	// 鬆弛:對於佇列中所有符合條件的邊進行鬆弛
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]){                    // 如果佇列中已存在j，則不需要將j重複插入
                    q.push(j);    	        // 只要是符合條件就進佇列
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

spfa 求負環

int n;      // 總點數
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 鄰接表儲存所有邊
int dist[N], cnt[N];        // dist[x]儲存1號點到x的最短距離，cnt[x]儲存1到x的最短路中經過的點數
bool st[N];     // 儲存每個點是否在佇列中

// 如果存在負環，則返回true，否則返回false。
bool spfa(){
    // 不需要初始化dist陣列,因為不用求具體數值,只需要向量的比較就行
    // 原理:如果某條最短路徑上有n個點(除了自己),那麼加上自己之後一共有n+1個點,由抽屜原理一定有兩個點相同,所以存在環。

    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){	// 求整個圖中的負環
        q.push(i);
        st[i] = true;
    }

    while (q.size()){
        auto t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i]){	// 鬆弛
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true; // 如果從1號點到x的最短路中包含至少n個點(不包括自己),則說明存在環
                if (!st[j]){
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}

Floyd演算法

// 初始化:
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;

// 演算法結束後，d[a][b]表示a到b的最短距離
void floyd(){
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

// 輸出結果
	if(g[a][b] > INF/2)puts("impossible");
	else printf("%d\n",g[a][b]);

樸素版Prim演算法

時間複雜度是O(n²+m), n表示點數，m表示邊數

用堆最佳化版prim，和用堆最佳化版Dijkstra差不多

int n;      // n表示點數
int g[N][N];        // 鄰接矩陣，儲存所有邊
int dist[N];        // 儲存其他點到當前最小生成樹的距離
bool st[N];     // 儲存每個點是否已經在生成樹中


// 如果圖不連通，則返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否則返回最小生成樹的樹邊權重之和
int prim(){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ){
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        if (dist[t] == INF) return INF;

        res += dist[t];
        st[t] = true;
		// 放在下面，是因為資料中有自環，容易造成誤算
        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);	// 把t所連且距離更短的放入集合
    }
    return res;
}

堆最佳化版Prim

不用刻意最佳化

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N];
bool st[N];
int prim(){
    int res = 0, cnt = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0,1});
    while (heap.size()){
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        if(st[t.second]) continue;
        st[t.second] = true;
        res += t.first;
        cnt ++;
        for (int i = 1; i <= n; i ++){
            if (!st[i] && g[t.second][i] != INF){
                heap.push({g[t.second][i], i});
            }
        }
        
    }
    if(cnt != n)return INF;
    return res;
}

Kruskal演算法

int n, m;       // n是點數，m是邊數
int p[N];       // 並查集的父節點陣列

struct Edge{     // 儲存邊
    int a, b, w;
    bool operator< (const Edge &W)const{
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x){     // 並查集核心操作
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal(){
    sort(edges, edges + m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化並查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ ){
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b){     // 如果兩個連通塊不連通，則將這兩個連通塊合併
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

二分圖-染色判定法

二分圖定義: 圖中不存在奇數環；或圖可被分為兩部分，兩部分內部不存在邊，只在中間存在邊。
時間複雜度是O(n ＋ m), n表示點數，m表示邊數

int n;      // n表示點數
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 鄰接表儲存圖
int color[N];       // 表示每個點的顏色，0表示未染色，1表示白色，2表示黑色

// 引數：u表示當前節點，c表示當前點的顏色
bool dfs(int u, int c){
	color[u] = c;
	for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
		int j = e[i];
		if (!color[j] && !dfs(j, 3 - c)) return false;
		else if (color[u] == color[j]) return false;
	}
	return true;
}

bool check(){
    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!color[i] && !dfs(i, 0)){
                flag = false;
                break;
        }
    return flag;
}

二分圖-匈牙利演算法

匈牙利演算法為了解決二分圖兩部分的節點的最大匹配數。
匈牙利演算法: 二分圖的兩部分，一方男同志，一方女同志，兩方匹配，一方按順序匹配，有心儀的女生(即有邊)，即匹配成功，到某個男生匹配時，發現心儀的女生已經匹配了，那麼這個男生就要女生問問她的配偶是否有備胎，遞迴去問備胎是否單身....。若備胎也沒匹配，那麼她男朋友和他備胎在一起，直到所有有聯絡的人都問完。---給人找到下家，才去挖牆腳。(做錯不重要，重要的是錯過)
時間複雜度是O(nm), n表示點數，m表示邊數

int n1, n2;     // n1表示第一個集合中的點數，n2表示第二個集合中的點數
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 鄰接表儲存所有邊，匈牙利演算法中只會用到從第一個集合指向第二個集合的邊，所以這裡只用存一個方向的邊
bool st[N];			// 男生匹配每個女生只嘗試一次
int match[N];		// 該女生匹配了哪個男生

bool find(int x){
	for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]){
		int j = e[i];
		if (!st[j]){
			st[j] = true; // 只嘗試一次
			if (match[j] == 0 || find(match[j])){ // 沒匹配或者物件有備胎
				match[j] = x;		// 匹配成功
				return true;
			}
		}

	}
	return false;
}

// 求最大匹配數，依次列舉第一個集合中的每個點能否匹配第二個集合中的點
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ ){
    memset(st, false, sizeof st);	// 每個都嘗試
    if (find(i)) res ++ ;
}

數學知識-模板

試除法判定質數

時間複雜度大O(sqrt(n))

bool is_prime(int x){
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;}

試除法分解質因數

時間複雜度O(log(n) - sqrt(n))

void divide(int x){
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0){	// i 一定是質數,因為合數在前面已經除完了
            int s = 0;
            while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;
            cout << i << ' ' << s << endl;
        }
    if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;// 一個數最多有一個大於sqrt(n)的質因子,因為若是有兩個那麼乘積就大於n了
    cout << endl;
}

樸素篩法求素數

時間複雜度O(nlog(log(n)))近似O(n)

int primes[N], cnt;     // primes[]儲存所有素數
bool st[N];         // st[x]儲存x是否被篩掉

void get_primes(int n){
    for (int i = 2; i <= n; i ++ ){
        if (st[i]) continue;
        primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)	// 只需要以素數篩就可以，因為前面的素數會將後面的合數篩掉
            st[j] = true;
    }
}

線性篩法求素數

原理: n只會被它的最小質因子篩掉時間複雜度 O(n)

int primes[N], cnt;     // primes[]儲存所有素數
bool st[N];         // st[x]儲存x是否被篩掉

void get_primes(int n){
    for (int i = 2; i <= n; i ++ ){
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        // 用已經篩出的素數去篩,保證了每次都是最小質因子篩掉合數
        /* 
        	primes[j]<=n/i是合理的, 因為j永遠小於i, 即primes已存的素數都是小於i的
            1、當 i 是合數, 那麼一定在下面的break出去, 因為一定有最小質因子。
            2、當 i 是質數, 如果不從primes[j] <= n / i退出，那一定在下面break退出(因為總會j++到primes[j] == i時)
        */
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){
            st[primes[j] * i] = true;	//在下面註釋
            if (i % primes[j] == 0) break;	// 只能被自己最小質因子篩掉
        }
    }
}

註釋:

若i % primes[j] == 0 那麼primes[j] 一定是 i 的最小質因子,此時i可以直接被篩掉,且primes[j] * i 的最小質因子也是primes[j]。
若i % primes[j] != 0 說明前面篩出的素數都不是i最小質因子，但primes[j] * i 的最小質因子也是 primes[j]。
總之，primes[j] * i 的最小質因子始終是 primes[j] 對應程式碼 st[primes[j] * i] = true;

試除法求所有約數

時間複雜度為O(logn)

vector<int> get_divisors(int x){
    vector<int> res;
    for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0){
            res.push_back(i);
            if (i != x / i) res.push_back(x / i);
        }
    sort(res.begin(), res.end());
    return res;
}

約數個數和約數之和

如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck		// p為質因子
約數個數:(c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)	// 組合數
// 按照組合數選數, 展開的每一項就是約數, 總和就是約數之和
約數之和:(p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)

const int N = 110;
const int mod = 1e9+7;
int main(){
    int n; cin >> n;
    unordered_map<int, int> primes;
    while (n --){
        int x; cin >> x;
        for (int i = 2; i <= x / i; i ++){
            while (x % i == 0){
                primes[i] ++;
                x /= i;
            }
        }
        if (x > 1) primes[x] ++;
    }
    LL res = 1;
    // 約數個數
    for (auto prime:primes)res = res * (prime.second + 1) % mod;
    
    cout << res << endl;
    res = 1;
    // 約數之和
    for (auto prime:primes){
        int p = prime.first,k = prime.second;
        LL t = 1;
        while (k --) t = (t * p + 1) % mod;  // 這裡要取模所以用等比數列前n項和不合適
        res = res * t % mod;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

歐幾里得演算法

假設d為任意兩個數的最大公約數

定理: 若d|a 和 d|b, 即d|ax + by |: 整除的意思 ↔ d|a a整除b 裴蜀定理: 對於任意正整數a, b, 一定存在非零整數x, y, 使得ax + by = (a, b) 即a, b組合的最小的正整數為a和b的最大公約數。
推理: a mod b = a - a / b * b = a - c * b 令c = a / b
論證: (b, a % b) == (b, a - c * b) 由(1)得 d|(a - c * b) 和 d|b 得d|(a- c * b + c * b)，即d|a，
所以(b, a % b) == (a, b) (a,b)即a和b最大公約數
結論: (a, b) == (a, a % b)

int gcd(int a, int b){	// (a,b) == (a, a % b) 遞迴下去, 即求最大公約數 遞迴結束條件 b == 0
    return b ? gcd(b, a % b) : a;// b不等於0, 返回gcd(b, a % b), 否者返回a, 因為a和0的最大公約數為a
}

尤拉函式

極性函式證明
容斥原理證明

程式碼如下

int phi(int x){
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);	// res / i * (i - 1) == res * (1 - 1 / i);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);

    return res;
}

篩法求尤拉篩

int primes[N], cnt;     // primes[]儲存所有素數
int euler[N];           // 儲存每個數的尤拉函式
bool st[N];         // st[x]儲存x是否被篩掉


void get_eulers(int n){
    euler[1] = 1;	// 定義的
    for (int i = 2; i <= n; i ++ ){
        if (!st[i]){
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;	// 質數的尤拉值為 i - 1
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0){	// primes[j] 是 i的最小質因子
                /*
                	phi[i] = i*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pk),且primes[j]是i的質因子,
                	所以phi[t] = primes[j]*i*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pk) = primes[j]*phi[i]
                */
                euler[t] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
            /*
            	解釋一:
            		i 不能整除 primes[j], 那麼 i 就和 primes[j] 互質, 根據積性函式得 φ(t) = φ(i) * φ(primes[j])
            	解釋二:
            		i 不能整除 primes[j], 但是primes[j]仍是t的最小質因子, 因此不僅需要將基數N修正為primes[j]倍, 還需要				補上1 - 1 / primes[j]這一項, 因此最終結果phi[i] * (primes[j] - 1)
            */
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}

快速冪

求 m^k mod p，時間複雜度 O(log(k))

原理: 預處理m的1,2,4,8,16....次方，進行k的二進位制規律進行組合相乘

int qmi(int m, int k, int p){
    int res = 1 % p, t = m;
    while (k){ // k次, k轉成二進位制
        if (k&1) res = res * t % p;	// 每次看末位是否為1,為1則進行累乘
        t = t * t % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

快速冪求逆元(p質數)

≡ : 同餘

a / b ≡ a * x (mod p)
兩邊同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod p)
即 1 ≡ b * x (mod p)
同 b * x ≡ 1 (mod p)
由費馬小定理可知，當p為質數時
b^(p-1) ≡ 1 (mod p)
拆一個b出來可得 b * b^(p-2) ≡ 1 (mod p)
故當n為質數時，b的乘法逆元 x = b^(p-2)

LL qmi(int m, int k, int p){
    LL res = 1 % p, t = m;
    while (k){
        if (k&1) res = res * t % p;
        t = t * t % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- ){
        int a, p;
        scanf("%d%d", &a, &p);
        if (a % p == 0) puts("impossible");	// 質數只和自己的倍數不互質
        else printf("%lld\n", qmi(a, p - 2, p));
    }
    return 0;
}

擴充套件歐幾里得演算法

證明1:

寫法一

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){//返回gcd(a,b) 並求出解(引用帶回)
    if(b==0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int x1,y1,gcd;
    gcd = exgcd(b, a%b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a/b*y1;	// 遞迴回溯回時記錄答案
    return gcd; 
}

寫法二

// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if (!b){
        x = 1; y = 0;	// 當 b = 0時, a和b的最大公約數為 a, 係數為 x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;	// y = y' - a/b * x'  y'和x'都是回溯上層的結果
    return d;
}

線性同餘方程

求同餘方程ax ≡ b(mod m)的係數 x

推理: ax ≡ b(mod m)↔(ax % m = b % m)，知存在y_k使得 ax = my_k + b，得ax - my_k = b，令 y = -y_k，即 ax + my = b。ax + my = b有解的必要條件是gcd(a, m)|b。設求出ax₀ + my₀ = gcd(a,m) ，即得 x = b / gcd(a,m) * x₀ = b * x₀ / gcd(a, m)

while (n -- ){
    int a, b, m;
    scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);
    int x, y;
    int d = exgcd(a, m, x, y);
    if (b % d) puts("impossible");	        // 說明b不能整除gcd(a, m)
    else printf("%d\n", (LL)b * x / d % m);	// 題目要求在int範圍內,且(a*x)%m = (a*(x%m))%m, 所以最後需要%m
}

擴充套件歐幾里得求逆元(p非質數)

求ax ≡ 1 (mod p)的x,根據線性同餘方程等價求ax + py = 1的x

while (n--) {
    cin >> a >> p;
    if (exgcd(a, p, x, y) == 1) cout << (x + p) % p << endl;
    else  cout << "impossible" << endl;//如果 exgcd(a,p,x,y) != 1, 說明ax+py=1無解, 因為1只能整除1
}

高斯消元

// a[N][N]是增廣矩陣
int gauss(){
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ ){
        int t = r;
        for (int i = r; i < n; i ++ )//找到絕對值最大的行,尋找最大的數值是因為可以避免係數變得太大,精度較高.
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;

        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;

        for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]); // 將絕對值最大的行換到最頂端 r
        for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];     // 將當前行的首位變成 1
        for (int i = r + 1; i < n; i ++ )                      // 用當前行將下面所有的列消成 0
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j -- )
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];

        r ++ ;
    }

    if (r < n){
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][n]) > eps)  // 最後一列有非零則無解
                return 2; // 無解
        return 1; // 有無窮多組解
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] -= a[i][j] & a[j][n];	// 回解每個未知數

    return 0; // 有唯一解
}

遞推法求組合數

\(C_{m}^{n}\) = \(C_{m-1}^{n}\) + \(C_{m-1}^{n-1}\) : m個數選n個，可分為兩種情況，某數x，① 確定選 x 再在m-1箇中選n-1個，即\(C_{m-1}^{n-1}\)② 確定不選 x 再在m-1箇中選n個\(C_{m-1}^{n}\)

資料範圍: 10000次詢問，1 <= b <= a <= 2000

// c[a][b] 表示從a個蘋果中選b個的方案數
for (int i = 0; i < N; i ++ )
    for (int j = 0; j <= i; j ++ )
        if (!j) c[i][j] = 1;	// c[i][0] = 1;
        else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;

預處理逆元的方式求組合數

首先預處理出所有階乘取模的餘數fact[N]，以及所有階乘取模的逆元infact[N]
如果取模的數是質數，可以用費馬小定理求逆元

資料範圍: 10000次詢問，1 <= b <= a <= 10⁵

int qmi(int a, int k, int p){    // 快速冪模板
    int res = 1;
    while (k){
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

// 預處理階乘的餘數和階乘逆元的餘數
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ ){
    fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
    infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}

Lucas定理求組合數

若p是質數，則對於任意整數 1 <= m <= n，有: \(C_{m}^{n}\) = \(C_{m\%p}^{n\%p}\) * \(C_{m/p}^{n/p}\) (mod p)

資料範圍: 20次詢問，1 <= b <= a <= 10¹⁸，1 <= p <= 10⁵

int qmi(int a, int k, int p){  // 快速冪模板
    int res = 1 % p;
    while (k){
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}
int C(int a, int b, int p){  // 透過定理求組合數C(a, b)
    if (a < b) return 0;

    LL x = 1, y = 1;  // x是分子，y是分母
    for (int i = a, j = 1; j <= b; i --, j ++ ){
        x = (LL)x * i % p;
        y = (LL) y * j % p;
    }
    
    return x * (LL)qmi(y, p - 2, p) % p;
}
int lucas(LL a, LL b, int p){
    if (a < p && b < p) return C(a, b, p);
    return (LL)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}

分解質因數法求組合數

當我們需要求出組合數的真實值，而非對某個數的餘數時，分解質因數的方式比較好用：

篩法求出範圍內的所有質數
透過 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 這個公式求出每個質因子的次數。 \(\lfloor {n \over p} \rfloor\) + \(\lfloor {n \over p^{2}} \rfloor\) + \(\lfloor {n \over p^{3}} \rfloor\) + ... \(\lfloor {n \over p^{k}(p^{k}\leqslant n)} \rfloor\)
n*(n-1)*(n-2)*...2*1 中 p 的次數: p為質因子
- \({n \over p}\) 代表 1 - n 中 p倍數的數字個數 1p,2p,3p,...xp \({\leqslant}\) n 這個x=\({n \over p}\)
- \({n \over p^{2}}\) 代表1 - n/p 中 p倍數的數字個數1p,2p,...mp\({\leqslant}\) n/p 其中m=\({n \over p^{2}}\)
- .....
- \({n \over p^{k}}\) 代表1 - n/p^k-1 中 p倍數的數字個數1p,2p,3p,....,kp\({\leqslant}\) n/p^k-1 其中k=\({n \over p^{k}}\) (迴圈結束條件: p^k+1 > n)
- 所以 n! 中p的次數是 \(\lfloor {n \over p} \rfloor\) + \(\lfloor {n \over p^{2}} \rfloor\) + \(\lfloor {n \over p^{3}} \rfloor\) + ... \(\lfloor {n \over p^{k}(p^{k}\leqslant n)} \rfloor\)
用高精度乘法將所有質因子相乘

// 線性篩求素數
int primes[N], cnt;
int sum[N];
bool st[N];
void get_primes(int n){
    for (int i = 2; i <= n; i ++ ){
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

// 求n!中的次數(核心程式碼)
int get(int n, int p){
    int res = 0;
    while (n){
        res += n / p;	        // 累計一次p的數量
        n /= p;			// 增加一次方
    }
    return res;
}

// 高精度乘低精度模板
vector<int> mul(vector<int> a, int b){
    vector<int> c;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++ ){
        t += a[i] * b;
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while (t){
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    return c;
}

/*************************************************************************/
get_primes(a);  // 預處理範圍內的所有質數
for (int i = 0; i < cnt; i ++ ){// 求每個質因數的次數
    int p = primes[i];
    sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);	// 分子的p次數 減去 分母p的次數
}

// 剩餘的質因子相乘(高精度乘低精度)
vector<int> res;
res.push_back(1);
for (int i = 0; i < cnt; i ++ )     // 用高精度乘法將所有質因子相乘
    for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
        res = mul(res, primes[i]);

卡特蘭數(組合數)

給定n個0和n個1,它們按照某種順序排成長度為2n的序列,滿足任意字首中0的個數都不少於1的個數的序列的數量為:Cat(n) = \(C_{2n}^{n} \over n + 1\)

將01序列置於座標系中，起點定於原點。若0表示向右走，1表示向上走，那麼任何字首中0的個數不少於1的個數就轉化為，路徑上的任意一點，橫座標大於等於縱座標。題目所求即為這樣的合法路徑數量。
下圖中，表示從(0,0)走到(n, n)的路徑，在綠線及以下表示合法，若觸碰紅線即不合法。

由圖可知，任何一條不合法的路徑(如黑色路徑)，都對應一條從(0,0)走到(n - 1,n ＋ 1)的一條路徑(如灰色路徑)。而任何一條(0,0)走到(n - 1,n＋1)的路徑，也對應了一條從(0,0)走到(n,n)的不合法路徑。

結論: 所有(0,0)到(n,n)且不經過紅線的路線即為答案，所有經歷紅線併到達(n,n)的路線數 等價於 所有從(0,0)到(n-1,n+1)路線數，因為(0,0)到(n-1,n+1)一定經歷紅線。

證明: \(C_{2n}^{n}\) - \(C_{2n}^{n-1}\) = \(C_{2n}^{n} \over n + 1\)
\(C_{2n}^{n}\) - \(C_{2n}^{n-1}\) = \((2n)! \over n! n!\) - \((2n)! \over (n-1)!(n+1)!\) = \((2n)!(n+1) - (2n)!n\over (n+1)!n!\) = \((2n)! \over (n+1)!n!\) = \(1 \over n+1\)\((2n)!\over n!n!\) = \(C_{2n}^{n} \over n + 1\)

int a = n * 2, b = n;
int res = 1;
// 2n!/(n+1)!n! = 2n*(2n-1)*...*(2n-n+1)/(n+1)!
for (int i = a; i > a - b; i -- ) res = (LL)res * i % mod;	// 2n*(2n-1)*...*(2n-n+1)

for (int i = 1; i <= b + 1; i ++ ) res = (LL)res * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;	// res*((n+1)!的逆元)

cout << res << endl;

容斥原理

應用: 能被整除的數

給定一個整數n和m個不同的質數p₁,p₂,... ,p_m，請你求出1～n中能被p₁,p₂,...,p_m中的至少一個數整除的整數有多少個。

解題思路:

實現思路:

// 二進位制列舉
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 20;
int p[N], n, m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < m; i ++) cin >> p[i];

    int res = 0;
    //列舉從1 到 1111...(m個1)的每一個集合狀態, (至少選中一個集合)
    for(int i = 1; i < 1 << m; i ++) {
        int t = 1;             //選中集合對應質數的乘積
        int s = 0;             //選中的集合數量

        //列舉當前狀態的每一位
        for(int j = 0; j < m; j ++){
            //選中一個集合
            if(i >> j & 1){
                if((LL)t * p[j] > n){    
                    t = -1;
                    break;//乘積大於n, 則n / t = 0, 跳出這輪迴圈
                }
                s++;            //有一個1, 集合數量+1
                t *= p[j];
            }
        }

        if(t == -1) continue;  

        if(s & 1) res += n / t; //選中奇數個集合, 則係數應該是1, n/t為當前這種狀態的集合數量
        else res -= n / t;      //反之則為 -1
    }

    cout << res << endl;
    return 0;
}

博弈論-NIM遊戲

經典NIM遊戲

for(int i = 0; i < n; i++) {
    int x;
    scanf("%d", &x);
    res ^= x;
}
if(res) puts("Yes");
else puts("No");

NIM遊戲擴充

題目描述: 現在，有一個n級臺階的樓梯，每級臺階上都有若干個石子，其中第 i 級臺階上有 a 個石子(i ≥ 1)。兩位玩家輪流操作，每次操作可以從任意一級臺階上拿若干個石子放到下一級臺階中(不能不拿)。已經拿到地面上的石子不能再拿，最後無法進行操作的人視為失敗。問如果兩人都採用最優策略，先手是否必勝。

最優策略:

把所有奇數臺階看做經典NIM遊戲，若是所有奇數臺階異或和為0，則必敗，否者先手將奇數臺階拿走若干石子到下一臺階(偶數臺階)，把所有奇數臺階的異或和恢復為 0 。
將經典NIM遊戲中的拿走某堆中若干，看做兩種情況，① 拿奇數臺階到下一臺階(偶數臺階)，就相當於NIM遊戲中拿走某堆中若干 ② 拿偶數臺階到下一臺階(奇數臺階)，那後手就將拿過去的都拿到下一臺階(偶數)，那麼奇數臺階又恢復異或為0的狀態。
為什麼不用偶數臺階計算？因為最後都落到0號臺階且不能再移動，0號臺階是偶數臺階。

int f = 0;
for (int i = 1,x; i <= n; i++){
    cin >> x;
    if(i%2)f^=x;
}
if (f)puts("Yes");
else puts("No");

博弈論-SG函式

例子: 若干堆石子，每一次只能拿2, 5個，其他規則和NIM遊戲相同

SG函式過程:

結合程式碼重點理解Mex運算，以及SG函式如何利用Mex運算

應用一: 集合-Nim遊戲

給定n堆石子以及一個由k個不同正整數構成的數字集合S。
現在有兩位玩家輪流操作，每次操作可以從任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子數量必須包含於集合S，最後無法進行操作的人視為失敗。
問如果兩人都採用最優策略，先手是否必勝。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>

using namespace std;

const int N=110,M=10010;
int n,m;
int f[M],s[N];//s儲存的是可供選擇的集合,f儲存的是所有可能出現過的情況的sg值

int sg(int x){
    if(f[x] != -1) return f[x];// 如果此sg值出現過就不再重複計算
    unordered_set<int> S; // set代表的是有序集合,記錄所有子節點的sg值
    for(int i = 0;i < m;i ++){
        int sum = s[i];
        if(x >= sum) S.insert(sg(x - sum));// 當x大於sum是才可以"拿"遞迴下去
    }

    /*************************************重點Mex運算***************************************
    	迴圈完之後可以進行選出最小的沒有出現的自然數的操作,這裡就保證了sg值可以像Nim遊戲一樣,
    	Nim遊戲中可以拿任意數量,sg(x)節點可以走到小於它的任何節點,這是一個有向圖
    ***************************************************************************************/
    for(int i=0;;i++)
        if(!S.count(i)) return f[x] = i;
}

int main(){
    cin >> m;
    for (int i = 0;i < m;i ++)
    cin >> s[i];

    cin >> n;
    memset(f,-1,sizeof(f));//初始化f均為-1,方便在sg函式中檢視x是否被記錄過

    int res = 0;
    for (int i = 0;i < n; i++){
        int x;
        cin >> x;
        res ^= sg(x);//觀察異或值的變化,基本原理與Nim遊戲相同
    }

    if(res) printf("Yes");
    else printf("No");

    return 0;
}

應用二: 拆分-Nim遊戲

題目描述:

給定n堆石子，兩位玩家輪流操作，每次操作可以拿走其中的一堆石子，然後重新放置兩堆規模更小的石子(新堆規模可以為0，且兩個新堆的石子總數可以大於取走的那堆石子數)，最後無法進行操作的人視為失敗。
問如果兩人都採用最優策略，先手是否必勝。

加黑解釋: 新的兩堆，不是以原來的石子分的，是重新放的兩堆石子，只是要求這兩堆每一堆都小於原來那堆的數量。

題目分析:

相比於集合-Nim，這裡的每一堆可以變成小於原來那堆的任意大小的兩堆，即a_i可以拆分成(b_i, b_j)，為了避免重複規定b_i >= b_j，
相當於一個局面拆分成了兩個局面，由SG函式理論，多個獨立局面的SG值，等於這些局面SG值的異或和。因此需要儲存的狀態就是sg(b_i)^sg(b_j) (與集合-Nim的唯一區別)

int f[N];
unordered_set<int> S;
/*****************************為什麼可以把 S 定義成全域性變數********************************
	因為這個sg函式的特殊性, 求sg(100)時, 它會將1-100的所有sg(1)-sg(100)都計算出來,
	當 x <= 100 的都會直接return f[x]; 當x > 100 的會因為sg是遞迴性質, 因此會按順序求出sg(101),
	sg(102),...,sg(x), 所以把S設定成全域性變數更好.
**************************************************************************************/

int sg(int x){
    if(f[x] != -1) return f[x];

    for(int i = 0 ; i < x ; i++)
        for(int j = 0 ; j <= i ; j++)//規定j不大於i，避免重複
            //相當於一個局面拆分成了兩個局面,由SG函式理論,多個獨立局面的SG值,等於這些局面SG值的異或和
            S.insert(sg(i) ^ sg(j));
    for(int i = 0 ; ; i++)
        if(!S.count(i))
            return f[x] = i;
}

動態規劃-模型

揹包問題

01揹包

每件物品只能選一次，在不超過體積 j 的前提下可以選擇的最大價值

樸素版

int v[N],w[M];
int f[N][N];	// 在1-i中選出體積不超過j的最大價值
    
for (int i = 1; i <= n; i ++){
    for (int j = 0; j <= m; j ++){
        f[i][j] = f[i - 1][j];		// 不選第i個物品: 只從1-i-1中選, 且體積不超過j
        if (j > v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); // 選第i個物品: f[i - 1][j - v[i]] + w[i]
    }
}
cout << f[n][m] << endl;

最佳化版

int v[N],w[M];
int f[N];
for (int i = 1; i <= n; i ++){
    for (int j = m; j >= v[i]; j --)	// 倒著迴圈保證f[j-v[i]]是上一輪的資料沒有被覆蓋
        /*
        	1. 本輪沒選第i個物品 f[i - 1][j] == f[j]
        	2. 本輪選第i個物品 f[i - 1][j - v[i]] + w[i] == f[j - v[i]] + w[i]
        	3. 兩者取max
        */
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
cout << f[m] << endl;

完全揹包

每件物品可以被選無數個，在不超過體積 j 的前提下可以選擇的最大價值

樸素版

int v[N],w[M];
int f[N][N];	// 在1-i中選出體積不超過j的最大價值
for (int i = 1; i <= n; i ++)
    for (int j = 0; j <= m; j ++)
        for (int k = 0; k * v[i] <= j; k ++)
            f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
cout << f[n][m] << endl;

最佳化版1

int v[N],w[M];
int f[N][N];	// 在1-i中選出體積不超過j的最大價值
for (int i = 1; i <= n; i ++)
    for (int j = 0; j <= m; j ++){
        /*
        	f[i][j] = max{f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2*v]+2*w,f[i-1][j-3*v]+3*w,...}
        	f[i][j-v] = max{        f[i-1][j-v]  ,f[i-1][j-2*v]+  w,f[i-1][j-3*v]+2*w,...}
        	所以 f[i][j] = max{f[i-1][j],f[i][j-v]+w}
        */
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
    }
cout << f[n][m] << endl;

最佳化版2

int v[N],w[M];
int [N];	// 在1-i中選出體積不超過j的最大價值
for (int i = 1; i <= n; i ++)
    for (int j = v[i]; j <= m; j ++){	// 和01揹包唯一的區別就是迴圈的順序
        /*
        	1. f[i][j] = f[i - 1][j]; == f[j] = f[j]
        	2. f[i][j] = max(f[j], f[i][j - v[i]] + w[i]); == f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i])
        	3. 迴圈不用倒著是因為f[i][j - v[i]]就是需要本層已經更新過的, 因此不用擔心覆蓋問題
        */
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    }
cout << f[m] << endl;

多重揹包

每件物品可以被選x_i個，在不超過體積 j 的前提下可以選擇的最大價值

樸素版 時間複雜度O(n*m*s)

int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];
for (int i = 1; i <= n; i ++)
    for (int j = 0; j <= m; j ++)
        for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++)
            f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
cout << f[m] << endl;

為什麼不用完全揹包最佳化的方法最佳化多重揹包?

最佳化版 時間複雜度O(n*m*log(s)) 利用二進位制將多重揹包最佳化成01揹包
例子: x = 200 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 73，且200以內所有的數都可以用這些陣列和表示

// N = 1000*log(2,2000)
int n,m,cnt;
int v[N],w[N];
int f[N];
for (int i = 0; i < n; i ++){
    int a, b, s; cin >> a >> b >> s;
    int k = 1; 
    while (k <= s){
        cnt ++;
        v[cnt] = a * k;
        w[cnt] = b * k;
        s -= k;
        k *= 2;
    }
    if (s > 0){
        v[++ cnt] = a * s;
        v[cnt] = b * s;
    }
}
for (int i = 1; i <= cnt; i ++)
    for (int j = m; j >= v[i]; j --)
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;

分組揹包

每組有多種物品，每種物品只有一個，每組只能選一個，，在不超過體積 j 的前提下可以選擇的最大價值

多重揹包是每組選幾個，而分組揹包是每組選哪個。

f[i][j] = max{f[i - 1][j], f[i - 1][j - k_i] + w[i][k_i]} 類似01揹包

int n,m;
int v[N][N],w[N][N];
int f[N],s[N];
for (int i = 1; i <= n; i ++)
    for (int j = m; j > 0; j --)
        for (int k = 1; k <= s[i]; k ++)
            if (v[i][k] <= j) f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
cout << f[m] << endl;

PS: 第三重迴圈和第二重迴圈是不可以換位子的，因為第二重迴圈是從m開始的，為了避免覆蓋上層，而不能使用上層。如果換位置，f[j] 就會迴圈s[i]次導致上層資料被覆蓋。但是如果是沒有進行一維最佳化的話，用二維i，j，k就可以交換位置了，那樣就不會覆蓋上層資料。

線性DP

數字三角形

for (int i = n - 1; i >= 1; i --)
    for (int j = 1; j <= i; j ++)
        a[i][j] += max(a[i + 1][j], a[i + 1][j + 1]);
cout << a[1][1] << endl;

最長上升子序列

資料範圍 1 <= N <= 1000

int n,a[1010],f[1010],g[1010];	// g[i] 記錄 f[i] 是從哪個狀態轉移過來的, 最後可以倒著推出序列是什麼
for(int i = 1; i <= n; i ++){
    f[i] = 1; 
    g[i] = 0;	// 以i為起點的最長子序列
    for(int j = 1; j < i; j ++)
        if(a[j] < a[i] && f[i] < f[j] + 1){
            f[i] = f[j] + 1;		// 若是a[j] < a[i] 那麼以i結尾的最長子序列長度 = f[j] + 1
            g[i] = j;
        }
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++) ans = max(ans, f[i]);
cout << ans << endl;

資料範圍 1 <= N <= 100000

/************************** DP ----> 貪心 **************************
	q陣列下標: 代表最長子序列長度
	q陣列的值: 記錄下標len的子序列最後一個數的最小值
	因為q陣列的定義可知,所以q[len]一定小於q[len+1]，因此陣列q具有單調遞增性質,
	可以利用二分找到第一個大於a[i]的值, q[i + 1] = a[i]
*******************************************************************/
int n,a[N],q[N];
int len = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ ){
    int l = 0, r = len;
    while (l < r){
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (q[mid] < a[i]) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    len = max(len, r + 1);
    q[r + 1] = a[i];
}
printf("%d\n", len);

最長公共子序列

閆式DP分析

狀態表示f[i, j]
① 集合: 所有在第一個序列的前i個字母出現，且在第二個序列的前j個字母出現的子序列
② 屬性: Max
狀態計算: f[i, j] 分為4種狀態 00(i不選, j不選)，01(i不選, j選)，10(i選, j不選)，11(i選, j選)
00: 這個狀態好表示 f[i, j] = f[i - 1, j - 1]
01: 這個狀態表示為 f[i, j] = f[i - 1, j]
10: 這個狀態透過為 f[i, j] = f[i, j - 1]
11: 這個狀態好表示 f[i, j] = f[i - 1, j - 1] + 1
透過對f[i, j]的定義，可以發現f[i - 1, j - 1] 這種狀態屬於 f[i - 1, j] 和 f[i, j - 1] 這兩種狀態中。

int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];
scanf("%s%s", a + 1, b + 1);
for (int i = 1; i <= n; i ++)	// 雙重迴圈--二維dp
    for (int j = 1; j <= m; j ++){
        f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
        if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
    }
cout << f[n][m] << endl;
/*
acbd
abedc
*/

最短編輯距離

題意: 兩個字串a, b，有三種操作: 增，刪，改。問最少的操作次數使得字串a變成b

狀態表示 f[i, j]
1. 集合: 所有將a[1~i]變成b[1~j]的操作方式
2. 屬性: Min
狀態計算
1. 刪除: f[i - 1, j] + 1 要保證a[0，i - 1] 和 b[0，j] 相等的條件下
2. 增加: f[i, j - 1] + 1 要保證a[0，i] 和 b[0，j - 1] 相等的條件下
3. 修改: f[i - 1, j - 1] + 1_不同 or 0_相同要保證 a[0，i - 1] 和 b[0，j - 1] 相等的條件下

int f[N][N];
char a[N],b[N];
scanf("%s%s", a + 1, b + 1);
// 初始化
for(int i = 0; i <= m; i ++)f[0][i] = i;	// a[0,0] 到 b[0,i] 需要新增操作i次
for(int i = 0; i <= n; i ++)f[i][0] = i;	// a[0,i] 到 b[0,0] 需要刪除操作i次

for(int i = 1; i <= n; i ++){
    for(int j = 1; j <= m; j ++){
        if(a[i] != b[j]) f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1; // a[i] == b[i] 修改 +1
        else f[i][j] = f[i - 1][j - 1];	// 修改
        f[i][j] = min(f[i][j], min(f[i - 1][j] + 1,f[i][j - 1] + 1));	// 比較三種情況選出最小值
    }
}
cout << f[n][m] << endl;

區間DP-石子合併

題意: 合併 N 堆石子，每次只能合併相鄰的兩堆石子，求最小代價
解題思路:

關鍵點: 最後一次合併一定是左邊連續區間和右邊連續區間進行合併
1. 狀態表示: f[i][j] 表示將 i 到 j 這一區間的石子合併成一個區間的集合，屬性時Min
2. 狀態計算:
  
  f[i][j] = min{f[i][k_i] + f[k_i + 1][j] + s[j] - s[i - 1]} (i ≤ k_i ≤ j - 1) 至少 k_i 把[i, j]分成兩個區間

int s[N];
int f[N][N];
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] += s[i - 1];  // 字首和
for (int len = 2; len <= n; len ++ )	// 列舉區間長度
    for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++ ){
        int l = i, r = i + len - 1;
        f[l][r] = 1e8;
        for (int k = l; k < r; k ++ )	//k ∈ [l, r - 1]
            f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
    }
printf("%d\n", f[1][n]);

記憶化搜尋做法

int dp(int i, int j) {
    if (i == j) return 0; // 判斷邊界
    int &v = f[i][j];

    if (v != -1) return v;// 減枝避免重複計算,因為下面迴圈會出現區間重疊

    v = 1e8;
    for (int k = i; k < j; k ++)
        v = min(v, dp(i, k) + dp(k + 1, j) + s[j] - s[i - 1]);

    return v;
}
memset(f, -1, sizeof f);
cout << dp(1, n) << endl;

區間DP常用模板

for (int len = 1; len <= n; len ++) {         // 區間長度
    for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++) { // 列舉起點
        int j = i + len - 1;                 // 區間終點
        if (len == 1) {
            dp[i][j] = 初始值
            continue;
        }

        for (int k = i; k < j; k ++) {        // 列舉分割點，構造狀態轉移方程
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j]);
        }
    }
}

計數類DP-整數劃分

問題描述: 一個正整數n可以表示成若干個正整數之和，形如：n = n₁ + n₂ + … + n_k，其中 n₁ ≥ n₂ ≥ … ≥ n_k, k≥1，我們將這樣的一種表示稱為正整數 n 的一種劃分，現在給定一個正整數n，請你求出n共有多少種不同的劃分方法

方法一

/***************************利用完全揹包的推理***********************
f[i][j]: 表示前i個整數(1,2…,i)恰好拼成j的方案數
f[i][j] = f[i-1][j]+f[i-1][j-i]+f[i-1][j-i*2]...f[i-1][j-i*s]	i*s <= j < i*(s+1)
f[i][j-i] = 		f[i-1][j-i]+f[i-1][j-i*2]...f[i-1][j-i*s]
得出轉移方程 f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-i]
最佳化維度	f[j] = f[j]+f[j-i]
******************************************************************/
int f[N];
f[0] = 1;  //總和為0的方案數,也就是f[i][0]前i個整數(1,2…,i)恰好拼成0的方案數,只有一種就是一個都不選
for (int i = 1; i <= n; i ++)
    for (int j = i; j <= n; j ++)
        f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;
cout << f[n] << endl;

方法二

/*********************計數DP****************************
f[i][j]表示和為i,恰好選j個數的方案數
劃分為兩種情況
1.最小值為1 那把為1的情況去掉 就是f[i-1][j-1]這種情況的方案數
2.最小值大於1 那把i個數都減去1 就是f[i-j][j] 這個情況的方案數
轉移方程: f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-j][j]
		ans = f[n][1] + f[n][2] + ... + f[n][n]
*******************************************************/
int f[N][N];
f[1][1] = 1;	//初始化源頭
for (int i = 2; i <= n; i ++)
    for (int j = 1; j <= i; j ++)
        f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % mod;
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)res = (res + f[n][i]) % mod;	//列舉每種情況相加
cout << res << endl;

數位統計DP-計數問題

題目描述:

給定兩個整數 a 和 b，求 a 和 b 之間的所有數字中0～9的出現次數。
例如，a=1024，b = 1032，則a和b之間共有9個數如下:
1024 1025 1026 1027 1028 1029 1030 1031 1032
其中0出現10次，1出現10次，2出現7次，3出現3次等等...

演算法思想: 字首和，數位dp

例如 n = abcdefg 求 0 ~ n 中x出現的次數，記作count(n, x)，核心思想是計算x在abcdefg上每一位出現的次數之和

計算x在數字'd'這個位置出現的次數

① 'abc'位置是[000, abc - 1] 此時ans += abc*10^3

② 當x = 0時要特判，因為多算了000x這種情況，所以ans -= 10^3
'abc'位置是abc時
- ③ d < x 時，那麼abcxefg就大於abcdefg，此時不符合條件不計入ans
- ④ d = x 時，那麼efg就是所求x在數字d所在位置的次數 ans += efg+1 (000 ~ efg)
- ⑤ d > x 時，那麼efg所在的位置可以填任何數字, ans += 1000 (000 ~ 999)

最後將x在n的每一位上計算的次數相加，就是0~n中x出現的次數

所以求 a~b之間的x出現的次數,利用字首和原理,即等於求0~b出現x的次數減去0~a-1出現x的次數: ans = count(b, x) - count(a - 1, x)

int get(vector<int> num, int l, int r){	// 計算num[l],num[l+1],...,num[r]十進位制數
    int res = 0;
    for (int i = l; i >= r; i --) res = res * 10 + num[i];
    return res;
}
int power10(int x){						// 計算10^x
    int res = 1;
    while (x -- ) res *= 10;
    return res;
}
int count(int n, int x){				// 計算0~n中x出現的次數
    if (!n) return 0;
    vector<int> num;					// 把n的每一位拆分放進num陣列中
    while (n){
        num.push_back(n % 10);
        n /= 10;
    }
    n = num.size();
    int res = 0;	
    for (int i = n - 1 - !x; i >= 0; i --){
        if (i < n - 1){	// 計算i的字首是0 ~ (abc-1)
            res += get(num, n - 1, i + 1) * power10(i);	//① 0~(abc-1)數量等於abc   res+="字首數量"*power10(i)
            if (!x) res -= power10(i);			//② 如果x是0, 那麼就會多數一種情況000xefg, 即多加一個 power10(i)
        }
        if (num[i] == x) res += get(num, i - 1, 0) + 1;	//④ 字首是abc且d = x
        else if (num[i] > x) res += power10(i);			//⑤ 字首是abc且d > x
    }
    return res;
}
int main(){
    int a, b;
    while (cin >> a >> b , a){
        if (a > b) swap(a, b);
        for (int i = 0; i <= 9; i ++)
            cout << count(b, i) - count(a - 1, i) << ' ';
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

狀態壓縮DP

蒙德里安的猜想-DP

題意: n x m的棋盤可以擺放不同的1 × 2小方格的種類數。

題目分析:

擺放方塊的時候，先放橫著的，再放豎著的。總方案數等於只放橫著的小方塊的合法方案數。
如何判斷，當前方案數是否合法? 所有剩餘位置能否填充滿豎著的小方塊。可以按列來看，每一列內部所有連續的空著的小方塊需要是偶數個。
這是一道動態規劃的題目，並且是一道狀態壓縮的dp: 用一個N位的二進位制數，每一位表示一個物品，0/1表示不同的狀態。因此可以用0 →2^N -1中的所有數來列舉列全部的狀態。

狀態表示: f[i][j]表示已經將前i-1列擺好，且從第i-1列，伸出到第i列的狀態是j的所有方案。其中j是一個二進位制數，用來表示第i-1列轉化成第i列的狀態(j對應二進位制中的1表示從i-1列橫著放一個方塊，0表示從i-1類到i列沒變化)，其位數和棋盤的行數一致。

狀態轉移: f[i][j] += f[i - 1][k_i] (0 ≤ k_i ≤ 2ⁿ-1) 表示第i列的狀態j的方案數等於所有符合條件的第i-1列的狀態k_i之和。其中狀態k_i 表示第i-2列轉化到第i-1列的狀態，狀態j表示第i-1列轉化到第i列的狀態

typedef long long LL;
const int N = 12, M = 1 << N;
int n, m;
LL f[N][M];// 第一維表示列, 第二維表示所有可能的狀態
vector<int> state[M];
bool st[M];//儲存每種狀態是否有奇數個連續的0, 如果奇數個0是無效狀態, 如果是偶數個零置為true

int main(){
    while (cin >> n >> m, n || m){
        // 預處理(一): 預處理出[0,1<<n]中每個數的n位中連續0的數量是否為偶數	1 表示伸出  0 表示不伸出
        for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ ){
            int cnt = 0;
            bool is_valid = true;
            for (int j = 0; j < n; j ++ )
                if (i >> j & 1){
                    if (cnt & 1){
                        is_valid = false;
                        break;
                    }
                    cnt = 0; // 這一步可以不寫, 因為上面if不滿足的話, cnt一定是偶數
                }
                else cnt ++ ;
            if (cnt & 1) is_valid = false;
            st[i] = is_valid;
        }
		// 預處理(二): 預處理出f[k-1,i]到f[k,j]狀態轉移的所有合法方案, 此時屬於減少不必要的列舉
        for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ ){
            state[i].clear();
            for (int j = 0; j < 1 << n; j ++ )
                /*
                	i & j == 1 說明i和j的n位上有同時為1的情況, 這是不允許的, 若是i的某位為1,
                	說明在那個位置有從i的前一種狀態伸出, 那麼此時就不能在這個位置填一個塊伸出到j對應位置
                	
                	st[i|j]==true 標明在i轉換成j狀態後,i中剩餘連續的0是否符合偶數,因為剩下的0要填豎著的方塊
                	例如i='10101' j='01000' i|j=='11101' 這個就是不符合條件的, 即i不能轉化為j, 排除
                */
                if ((i & j) == 0 && st[i | j])
                    state[i].push_back(j);
        }
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0][0] = 1;
        /*******************************為什麼f[0][0] = 1**********************************
			1. 題目中輸入引數的列數是從1開始到m，即範圍為1~m，但我們寫的時候是將其先對映到陣列0~m-1裡
			2. 對於第一列，也就是陣列中的第0列，是需要初始化的；也就是我們需要初始化f[0][x] = ?回到定義，
			f[0][x] 表示從-1列伸到0列(此處說的都是陣列下標)狀態為x的方案。
			3. 我們發現，合法的方案只能是不伸過來，因為根本沒有-1列。即x只能取0的時候方案合法，f[0][0] = 1;
			接著dp過程就從第1列(陣列下標)開始。
			4. 那麼答案為什麼是f[m][0] 呢，因為橫放的時候方塊最多夠到第m-1列(陣列下標)，不能從m-1再往外伸，
			所以是f[m][0];
        **********************************************************************************/
        for (int i = 1; i <= m; i ++ )
            for (int j = 0; j < 1 << n; j ++ )
                for (auto k : state[j])
                    f[i][j] += f[i - 1][k];	// 列舉所有符合從i-1的k狀態且能成功轉化i的j狀態, 並累加

        cout << f[m][0] << endl;
    }
    return 0;
}

蒙德里安的猜想-記憶化搜尋

定義狀態: dp[i][j]表示前i - 1列的方格都已完全覆蓋，第i列方格被第i - 1列伸出的方塊覆蓋後狀態為j的所有方案數。

例如，上圖表示的就是dp[3][010010]的狀態(紅色為2 * 1方塊，綠色為1 * 2方塊) 0 表示沒有覆蓋，1 表示覆蓋。

狀態轉移:

我們採用由底至上的遞推方式，即由當前狀態推出下一列狀態的方案數。

以某一列的狀態而言

【情況一】如果當前行的格子已被上一列伸出的方塊覆蓋，則跳過
【情況二】如果當前行的格子未被覆蓋，說明可以放一個1 * 2的方塊
【情況三】如果當前行的格子和下一行的格子都未被覆蓋，說明可以放一個2 * 1的方塊
【總結】此列所有行的格子都覆蓋完後，我們便可以得出下一列的合法狀態

如上圖，我們對第3列的狀態進行搜尋後可到達的其中一種狀態

為什麼要搜尋?

根據dp陣列的定義可知，第一列不可能被上一列伸出的方塊覆蓋，所以初始化為dp[1][000] = 1，搜尋下一列可得：

可知第二列可到達的狀態只有3種，於是進行第三列的搜尋時只需從這3種狀態開始dfs，當前階段總是影響下一階段，我們只對可到達的進行討論，並不需要列舉每一種情況。

時間複雜度:

外層迴圈時間: m * (1<<n) = 11*2^11
遞迴時間: 最壞情況是一個不滿的二叉樹 2⁰+2¹+2²+...+2¹⁰ = (2¹¹ - 1)
總時間 = 外層迴圈時間*遞迴時間 ≈ 10 * 2¹¹ * 2¹¹ = 46137344 ≈ 4e7

int n, m;
long long dp[12][2500];
void dfs(int row, int col, int state, int next) {
    //row為當前行, col為當前列, state為當前列的狀態, next為可到達的下一列的狀態
    //當前列全覆蓋後可到達的下一個狀態加上當前狀態的方案數
    if (row == n) {
        //當前列所有行都已覆蓋完畢
        dp[col + 1][next] += dp[col][state];
        return;
    }
    //情況一: 如果當前行(state二進位制中第row位等於1)的格子已被覆蓋,跳過
    if (state & (1 << row)) dfs(row + 1, col, state, next);
    else {
        //當前行未被覆蓋，可放一個1*2的方塊
        dfs(row + 1, col, state, next | (1 << row));// 情況二
        //當前行和下一行都未被覆蓋，可放一個2*1的方塊
        if (row + 1 < n && (state & (1 << (row + 1))) == 0) dfs(row + 2, col, state, next);// 情況三
    }
}
int main() {
    while (scanf("%d%d", &n, &m) && n && m) {
        if (n > m) swap(n, m);
        //因為n行m列和n列m行的方案數等價, 所以我們不妨將min(n, m)作為二進位制列舉的指數, 減少方案數
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < (1 << n); j ++) {
                if (dp[i][j] > 0) {     //篩選出之前搜尋過可到達的狀態
                    dfs(0, i, j, 0);
                }
            }
        }
        //因為下標從0開始，所以dp[m][0]表示第m + 1列沒有任何第m列的方塊伸出的方案數
        cout << dp[m][0] << endl;
    }
    return 0;
}

最短Hamilton路徑

題目描述: 給定一張n個點的帶權無向圖，點從0 ~ n-1標號，求起點0到終點n-1的最短Hamilton路徑。Hamilton路徑的定義是從0到n-1不重不漏地經過每個點恰好一次。

狀態表示: f[i][j]

集合: 所有從0走到j，走過的所有點是i的所有路徑
屬性: Min

狀態計算: 0→...→k→j f[ i ][ j ] = min(f[ i ][ j ], f[ i - (1 << j) ][ k_i ] + w[ k_i ][ j ])

int f[M][N],w[N][N];
int main(){
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            cin >> w[i][j];
    memset(f, 0x3f, sizeof f);	// 初始化費用最大值
    f[1][0] = 0;				// 0 到 0 路徑只有 0 的費用是 0
    //for (int i = 0; i < 1 << n; i ++)
    for (int i = 1; i < 1 << n; i += 2)	//最佳化: 0001 + 10 = 0011 因為第0位始終只有是1才是合法的, 所以+2是符合條件的
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            if (i >> j & 1)		// i的第j位二進位制是否為1
                for (int k = 0; k < n; k ++)  // 節點j的前一個路徑節點k
                    if(i - (1 << j) >> k & 1)	// i - 1 << j 的第k位是否為1
                       f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]);
    cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;	// f[11...11][n - 1]是答案
    return 0;
}

樹形DP-沒有上司的舞會

題目描述: Ural大學有N名職員，編號為1～N。他們的關係就像─棵以校長為根的樹，父節點就是子節點的直接上司。每個職員有一個快樂指數，用整數H_i給出，其中1≤i≤N。現在要召開一場週年慶宴會，不過，沒有職員願意和直接上司一起參會。在滿足這個條件的前提下，主辦方希望邀請一部分職員參會，使得所有參會職員的快樂指數總和最大，求這個最大值。

狀態表示: f[u][0]，f[u][1]

集合: f[u][0]表示以u為根節點且u不參加的快樂指數最大值，f[u][1]表示以u為根節點且u參加的快樂指數最大值
屬性: Max

狀態計算: f[u][0] += max(f[u_i][0], f[u_i][1])，f[u][1] += f[u_i][0]

最後的結果ans = max(f[u, 0], f[u, 1]])

void dfs(int u){
    f[u][0] = 0;       // 不加當前結點
    f[u][1] = a[u];    // 加上當前結點
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        dfs(j);       // 一直遞迴到最深處
        f[u][0] += max(f[j][0], f[j][1]); // 不加當前結點,那麼他的子結點就可以選或者不選
        f[u][1] += f[j][0];                     // 加上當前結點,那麼他的子結點只能不選
    }
}
for(int i = 1; i <= n; i++) if(!ru[i]) root = i; // 找出根節點
dfs(root);
printf("%d\n", max(f[root][0], f[root][1]));

記憶化搜尋

題目描述: 一張n*m的圖，圖上每一個點都有一個高度，a點走到b點的要求是a點高度要大於b點高度，求某個點可以走的最大步數。

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

如上圖最大的步數是從25走，螺旋路線，最遠走到1，一共25步

int n, m;
int g[N][N],f[N][N];
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};

int dp(int x, int y){
    int &v = f[x][y];
    if (v != -1) return v;

    v = 1;	// 最次也可以走一步
    for (int i = 0; i < 4; i ++ ){
        int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
        if (a >= 1 && a <= n && b >= 1 && b <= m && g[x][y] > g[a][b])
            v = max(v, dp(a, b) + 1);
    }
    return v;
}
memset(f, -1, sizeof f);
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        res = max(res, dp(i, j));
printf("%d\n", res);

貪心-思想

區間問題

區間選點

題目描述: 給定N個閉區間[a_i,b_i]，請你在數軸上選擇儘量少的點，使得每個區間內至少包含一個選出的點。輸出選擇的點的最小數量。位於區間端點上的點也算作區間內。

struct Range{
    int l, r;
    bool operator< (const Range &W)const{
        return r < W.r;
    }
}range[N];
sort(range, range + n);
int res = 0, ed = -2e9;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
    if (range[i].l > ed){
        res ++ ;
        ed = range[i].r;
    }

printf("%d\n", res);

最大不相交區間數量

題目描述: 給定N個閉區間[a_i,b_i]，請你在數軸上選擇若干區間，使得選中的區間之間互不相交(包括端點)。輸出可選取區間的最大數量。

計算方法和區間選點一模一樣。

struct Range{
    int l, r;
    bool operator< (const Range &W)const{
        return r < W.r;
    }
}range[N];
sort(range, range + n);
int res = 0, ed = -2e9;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
    if (range[i].l > ed){
        res ++ ;
        ed = range[i].r;
    }

printf("%d\n", res);

區間分組

題目描述: 給定N個閉區間[a_i,b_i]，請你將這些區間分成若干組，使得每組內部的區間兩兩之間(包括端點)沒有交集，並使得組數儘可能小。輸出最小組數。

思路:

將所有區間按左端點從小到大排序
從前往後處理每個區間，判斷能否將其放到某個現有的組中L[i] > Max_r
1. 如果不存在這樣的組，則開新組，然後再將其放進去;
2. 如果存在這樣的組，將其放進去，並更新當前組的Max_r

sort(range, range + n);
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;// 小根堆裡存在每個組右端點
for (int i = 0; i < n; i ++ ){
    auto r = range[i];
    if (heap.empty() || heap.top() >= r.l) heap.push(r.r);// 最小的右端點都大於r.l那就需要新開一個組
    else{		// 否者就把這個組加入右端點最小的那個組, 並且更新
        heap.pop();
        heap.push(r.r);
    }
}
printf("%d\n", heap.size());

區間覆蓋

題目描述: 給定N個閉區間[a_i, b_i]以及一個線段區間[s, t]，請你選擇儘量少的區間，將指定線段區間完全覆蓋。輸出最少區間數，如果無法完全覆蓋則輸出 -1。

核心思想: 在左端點l都小於等於st的情況下, 取右端點最大的小區間

將所有區間按照左端點從小到大進行排序
從前往後列舉每個區間，在所有能覆蓋start的區間中，選擇右端點的最大區間，然後將start更新成右端點的最大值 這—步用到了貪心決策

int n;
int st, ed;
struct Range{
    int l, r;
    bool operator< (const Range &W)const{
        return l < W.l;
    }
}range[N];

sort(range, range + n);

int res = 0;
bool success = false;
int i = 0;
while (i < n){
    int r = -2e9;
    /*********************************************************************************
        int r = -2e9 不能放在外面
        例如: 
        4 10
        2
        4 5
        11 12  這個樣例不會執行裡面的while,i 不會 ++, 且if (r < st) 永遠不會執行, 就會陷入死迴圈
    **********************************************************************************/
    while (i < n && range[i].l <= st){	//在左端點l都小於等於st的情況下, 取右端點最大的小區間
        r = max(r, range[i].r);
        i ++ ;
    }

    if (r < st){	// 若 r < st 即說明while迴圈結束條件是 i < n, 所以說明所有的區間都不在[st, ed]裡面
        res = -1;
        break;
    }

    res ++ ;		// 成功找到合適的一個區間預設res ++
    if (r >= ed){	// 若 r >= ed 說明已經找到一個合適的區間, 此時退出, 貪心停止
        success = true;
        break;
    }

    st = r;			// st值設定成當前尋找的符合條件的右端點
}

if (!success) res = -1;
printf("%d\n", res);

Huffman樹-合併果子

priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
while (n --){
    int x;
    scanf("%d", &x);
    heap.push(x);
}

int res = 0;
while (heap.size() > 1){
    int a = heap.top(); heap.pop();
    int b = heap.top(); heap.pop();
    res += a + b;
    heap.push(a + b);
}

printf("%d\n", res);

排序不等式-排隊打水

題目描述: 有n 個人排隊到1個水龍頭處打水，第i個人裝滿水桶所需的時間是t，請問如何安排他們的打水順序才能使所有人的等待時間之和最小?

sort(t, t + n);
reverse(t, t + n);
LL res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) res += t[i] * i;
printf("%lld\n", res);

絕對值不等式-貨倉選址

題目描述: 在—條數軸上有N家商店，它們的座標分別為A₁～ A_N。現在需要在數軸上建立一家貨倉，每天清晨，從貨倉到每家商店都要運送一車商品。為了提高效率，求把貨倉建在何處，可以使得貨倉到每家商店的距離之和最小。

sort(a,a + t);
int ans = 0;
for(int i = 0; i < t; i ++) 
    /*
    	1. 當n為奇數時, 站點放在中位數a[t/2]時ans最小
    	2. 當n為偶數時, 站點放在範圍為a[(t-1)/2]~a[t/2]中任意位置都行,設[a,b]中有一個x,即|a - x| + |b - x| = b - a
    	3. 所以無論n為奇數還是偶數, ans都是最小
    */
    ans += abs(a[i] - a[t/2]);
cout << ans << endl;
/*
1 2 3 4 5 6
4 - 1 + 4 - 2 + 4 - 3 = 6
*/

推公式-耍雜技的牛

題目描述: 農民約翰N頭奶牛(編號為1..N)計劃逃跑並加入馬戲團，為此它們決定練習表演雜技。奶牛們不是非常有創意，只提出了一個雜技表演:
疊羅漢，表演時，奶牛們站在彼此的身上，形成一個高高的垂直堆疊。奶牛們正在試圖找到自己在這個堆疊中應該所處的位置順序。
這N頭奶牛中的每一頭都有著自己的重量W_i以及自己的強壯程度S_i。一頭牛支撐不住的可能性取決於它頭上所有牛的總重量(不包括它自己)減去它的身體強壯程度的值，現在稱該數值為風險值，風險值越大，這隻牛撐不住的可能性越高。您的任務是確定奶牛的排序，使得所有奶牛的風險值中的最大值儘可能的小。

貪心思路: 按照w_i+s_i從小到大的順序排，最大的危險係數一定是最小的。

typedef pair<int, int> PII;
const int N = 50010;
int n;
PII cow[N];
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ){
        int s, w;
        scanf("%d%d", &w, &s);
        cow[i] = {w + s, w};
    }
    sort(cow, cow + n);
    int res = -2e9, sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ){
        int s = cow[i].first - cow[i].second, w = cow[i].second;
        res = max(res, sum - s);
        sum += w;
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

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