讀完本文，你不僅學會了演算法套路，還可以順便去 LeetCode 上拿下如下題目：
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經常有讀者問我「圖」這種資料結構，其實我在 學習資料結構和演算法的框架思維 中說過，雖然圖可以玩出更多的演算法，解決更復雜的問題，但本質上圖可以認為是多叉樹的延伸。
面試筆試很少出現圖相關的問題，就算有，大多也是簡單的遍歷問題，基本上可以完全照搬多叉樹的遍歷。
那麼，本文依然秉持我們號的風格，只講「圖」最實用的，離我們最近的部分，讓你心裡對圖有個直觀的認識，文末我給出了其他經典圖論演算法，理解本文後應該都可以拿下的。
圖的邏輯結構和具體實現
一幅圖是由節點和邊構成的，邏輯結構如下：
什麼叫「邏輯結構」？就是說為了方便研究，我們把圖抽象成這個樣子。
根據這個邏輯結構，我們可以認為每個節點的實現如下：
/* 圖節點的邏輯結構 */
class Vertex {
int id;
Vertex[] neighbors;
}看到這個實現，你有沒有很熟悉？它和我們之前說的多叉樹節點幾乎完全一樣：
/* 基本的 N 叉樹節點 */
class TreeNode {
int val;
TreeNode[] children;
}所以說，圖真的沒啥高深的，就是高階點的多叉樹而已。
不過呢，上面的這種實現是「邏輯上的」，實際上我們很少用這個 Vertex 類實現圖，而是用常說的鄰接表和鄰接矩陣來實現。
比如還是剛才那幅圖：
用鄰接表和鄰接矩陣的儲存方式如下：
鄰接表很直觀，我把每個節點 x 的鄰居都存到一個列表裡，然後把 x 和這個列表關聯起來，這樣就可以通過一個節點 x 找到它的所有相鄰節點。
鄰接矩陣則是一個二維布林陣列，我們權且稱為 matrix，如果節點 x 和 y 是相連的，那麼就把 matrix[x][y] 設為 true（上圖中綠色的方格代表 true）。如果想找節點 x 的鄰居，去掃一圈 matrix[x][..] 就行了。
如果用程式碼的形式來表現，鄰接表和鄰接矩陣大概長這樣：
// 鄰接矩陣
// graph[x] 儲存 x 的所有鄰居節點
List<Integer>[] graph;
// 鄰接矩陣
// matrix[x][y] 記錄 x 是否有一條指向 y 的邊
boolean[][] matrix;那麼，為什麼有這兩種儲存圖的方式呢？肯定是因為他們各有優劣。
對於鄰接表，好處是佔用的空間少。
你看鄰接矩陣裡面空著那麼多位置，肯定需要更多的儲存空間。
但是，鄰接表無法快速判斷兩個節點是否相鄰。
比如說我想判斷節點 1 是否和節點 3 相鄰，我要去鄰接表裡 1 對應的鄰居列表裡查詢 3 是否存在。但對於鄰接矩陣就簡單了，只要看看 matrix[1][3] 就知道了，效率高。
所以說，使用哪一種方式實現圖，要看具體情況。
好了，對於「圖」這種資料結構，能看懂上面這些就綽綽夠用了。
那你可能會問，我們這個圖的模型僅僅是「有向無權圖」，不是還有什麼加權圖，無向圖，等等……
其實，這些更復雜的模型都是基於這個最簡單的圖衍生出來的。
有向加權圖怎麼實現？很簡單呀：
如果是鄰接表，我們不僅僅儲存某個節點 x 的所有鄰居節點，還儲存 x 到每個鄰居的權重，不就實現加權有向圖了嗎？
如果是鄰接矩陣，matrix[x][y] 不再是布林值，而是一個 int 值，0 表示沒有連線，其他值表示權重，不就變成加權有向圖了嗎？
如果用程式碼的形式來表現，大概長這樣：
// 鄰接矩陣
// graph[x] 儲存 x 的所有鄰居節點以及對應的權重
List<int[]>[] graph;
// 鄰接矩陣
// matrix[x][y] 記錄 x 指向 y 的邊的權重，0 表示不相鄰
int[][] matrix;無向圖怎麼實現？也很簡單，所謂的「無向」，是不是等同於「雙向」？
如果連線無向圖中的節點 x 和 y，把 matrix[x][y] 和 matrix[y][x] 都變成 true 不就行了；鄰接表也是類似的操作，在 x 的鄰居列表裡新增 y，同時在 y 的鄰居列表裡新增 x。
把上面的技巧合起來，就變成了無向加權圖……
好了，關於圖的基本介紹就到這裡，現在不管來什麼亂七八糟的圖，你心裡應該都有底了。
下面來看看所有資料結構都逃不過的問題：遍歷。
圖的遍歷
學習資料結構和演算法的框架思維 說過，各種資料結構被發明出來無非就是為了遍歷和訪問，所以「遍歷」是所有資料結構的基礎。
圖怎麼遍歷？還是那句話，參考多叉樹，多叉樹的遍歷框架如下：
/* 多叉樹遍歷框架 */
void traverse(TreeNode root) {
if (root == null) return;
for (TreeNode child : root.children) {
traverse(child);
}
}圖和多叉樹最大的區別是，圖是可能包含環的，你從圖的某一個節點開始遍歷，有可能走了一圈又回到這個節點。
所以，如果圖包含環，遍歷框架就要一個 visited 陣列進行輔助：
// 記錄被遍歷過的節點
boolean[] visited;
// 記錄從起點到當前節點的路徑
boolean[] onPath;
/* 圖遍歷框架 */
void traverse(Graph graph, int s) {
if (visited[s]) return;
// 經過節點 s，標記為已遍歷
visited[s] = true;
// 做選擇：標記節點 s 在路徑上
onPath[s] = true;
for (int neighbor : graph.neighbors(s)) {
traverse(graph, neighbor);
}
// 撤銷選擇：節點 s 離開路徑
onPath[s] = false;
}注意 visited 陣列和 onPath 陣列的區別，因為二叉樹算是特殊的圖，所以用遍歷二叉樹的過程來理解下這兩個陣列的區別：
上述 GIF 描述了遞迴遍歷二叉樹的過程，在 visited 中被標記為 true 的節點用灰色表示，在 onPath 中被標記為 true 的節點用綠色表示，這下你可以理解它們二者的區別了吧。
如果讓你處理路徑相關的問題，這個 onPath 變數是肯定會被用到的，比如 拓撲排序 中就有運用。
另外，你應該注意到了，這個 onPath 陣列的操作很像 回溯演算法核心套路 中做「做選擇」和「撤銷選擇」，區別在於位置：回溯演算法的「做選擇」和「撤銷選擇」在 for 迴圈裡面，而對 onPath 陣列的操作在 for 迴圈外面。
在 for 迴圈裡面和外面唯一的區別就是對根節點的處理。
比如下面兩種多叉樹的遍歷：
void traverse(TreeNode root) {
if (root == null) return;
System.out.println("enter: " + root.val);
for (TreeNode child : root.children) {
traverse(child);
}
System.out.println("leave: " + root.val);
}
void traverse(TreeNode root) {
if (root == null) return;
for (TreeNode child : root.children) {
System.out.println("enter: " + child.val);
traverse(child);
System.out.println("leave: " + child.val);
}
}前者會正確列印所有節點的進入和離開資訊，而後者唯獨會少列印整棵樹根節點的進入和離開資訊。
為什麼回溯演算法框架會用後者？因為回溯演算法關注的不是節點，而是樹枝，不信你看 回溯演算法核心套路 裡面的圖。
顯然，對於這裡「圖」的遍歷，我們應該把 onPath 的操作放到 for 迴圈外面，否則會漏掉記錄起始點的遍歷。
說了這麼多 onPath 陣列，再說下 visited 陣列，其目的很明顯了，由於圖可能含有環，visited 陣列就是防止遞迴重複遍歷同一個節點進入死迴圈的。
當然，如果題目告訴你圖中不含環，可以把 visited 陣列都省掉，基本就是多叉樹的遍歷。
題目實踐
下面我們來看力扣第 797 題「所有可能路徑」，函式簽名如下：
List<List<Integer>> allPathsSourceTarget(int[][] graph);題目輸入一幅有向無環圖，這個圖包含 n 個節點，標號為 0, 1, 2,..., n - 1，請你計算所有從節點 0 到節點 n - 1 的路徑。
輸入的這個 graph 其實就是「鄰接表」表示的一幅圖，graph[i] 儲存這節點 i 的所有鄰居節點。
比如輸入 graph = [[1,2],[3],[3],[]]，就代表下面這幅圖：
演算法應該返回 [[0,1,3],[0,2,3]]，即 0 到 3 的所有路徑。
解法很簡單，以 0 為起點遍歷圖，同時記錄遍歷過的路徑，當遍歷到終點時將路徑記錄下來即可。
既然輸入的圖是無環的，我們就不需要 visited 陣列輔助了，直接套用圖的遍歷框架：
// 記錄所有路徑
List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();
public List<List<Integer>> allPathsSourceTarget(int[][] graph) {
// 維護遞迴過程中經過的路徑
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
traverse(graph, 0, path);
return res;
}
/* 圖的遍歷框架 */
void traverse(int[][] graph, int s, LinkedList<Integer> path) {
// 新增節點 s 到路徑
path.addLast(s);
int n = graph.length;
if (s == n - 1) {
// 到達終點
res.add(new LinkedList<>(path));
path.removeLast();
return;
}
// 遞迴每個相鄰節點
for (int v : graph[s]) {
traverse(graph, v, path);
}
// 從路徑移出節點 s
path.removeLast();
}這道題就這樣解決了，注意 Java 的語言特性，向 res 中新增 path 時需要拷貝一個新的列表，否則最終 res 中的列表都是空的。
最後總結一下，圖的儲存方式主要有鄰接表和鄰接矩陣，無論什麼花裡胡哨的圖，都可以用這兩種方式儲存。
在筆試中，最常考的演算法是圖的遍歷，和多叉樹的遍歷框架是非常類似的。
當然，圖還會有很多其他的有趣演算法，比如 二分圖判定，環檢測和拓撲排序（編譯器迴圈引用檢測就是類似的演算法），最小生成樹，Dijkstra 最短路徑演算法 等等，有興趣的讀者可以去看看，本文就到這了。
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