轉自：https://blog.csdn.net/Karen_Yu_/article/details/78776354

§頂點&邊

問題引入

七橋問題

問題描述：

18世紀著名古典數學問題之一。在哥尼斯堡的一個公園裡，有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連線起來(如圖)。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發，恰好通過每座橋一次，再回到起點？尤拉於1736年研究並解決了此問題，他把問題歸結為如右圖的“一筆畫”問題，證明上述走法是不可能的。

圖論基礎知識——頂點

通過上文的故事版和正經版的對比，可以很容易得看出，頂點也就是問題引入中的四塊陸地——即，河的兩岸，兩個小島。

那麼，拋開這個問題，頂點又是什麼呢？

頂點在上述問題中就是所謂的

頂點（vertex）的首字母是V，所以就理所當然的，用V來代表頂點。

頂點，毫無疑問，是一個點，這個點可以有一條邊，也可以有n條邊。

圖論基礎知識——邊

所謂邊，也就是上面例子裡提到的七座橋。

邊（edge），因首字母為E，故簡記為E。

在圖論中，一般，我們用G來表示圖，具體原因……還是因為圖的英文首字母是G……

所以，一個圖常常寫作G=(V,E)。

我們可能還會見到這樣的寫法：

V={a,b,c……}

E={e1,e2,e3……}

這裡就是集合的形式了，也就是把所有的頂點和邊都分別裝到兩個分別叫V和E的塑料袋裡

→一個圖是一個有序的二元組<V，E>，記作G，其中^：

(1)

是有限非空集合，稱為頂點集，其元素稱為頂點或結點。

(2)

是有限集合，稱為邊集，E中每個元素都有V中的結點對與之對應，稱為邊。

邊e既可以是有向的，也可以是無向的。有向邊與有序結點對

對應，這時稱u為e的起點，v為e的終點。無向邊與無序結點對

對應，u，v稱為e的兩個端點。

要注意：元素不能重複

也就是同一個元素只能出現一次

採用圖這一名稱，是因為他們可以用圖形來表示，而這種圖形表示有助於人們理解圖的許多性質。圖論中的大多數定義和概念是根據圖形表示提出來的。如果頂點v是邊e的一個端點，則稱邊e和頂點v相關聯（Incident)，反之亦然。對於頂點u和v，若（u，v）∈E，則稱u和v是鄰接或相鄰（Adjacent）的；若兩條邊有共同的頂點，則也稱這兩條邊是相鄰的。

兩個端點重合的邊（度=2），稱為環（Loop），端點不重合的邊稱為連桿（Link）。關聯於同一對頂點的兩條或兩條以上的邊稱為多重邊（Multiple Edge）。

§有向圖&無向圖

問題引入

首先，請大家回憶一下高中的知識——向量，當時我們老師是這麼解釋的，向量就是有方向的量。

什麼是有方向的量？直觀感受就是帶有箭頭的線段，更直接的說法就是比起標量，向量多了方向。

再換個角度，看看向量的近義詞——向量。無論是高中物理還是初中物理都提到了一個概念——力，然後還有一種常見的入門題（受力分析）：

這裡，那個帶著箭頭的G就是有向圖（雖然只有兩個頂點和一條邊）。而我們常見的圖形很多都屬於無向圖，比如上面提到的七橋問題。

如果還是覺得抽象，就聯想一下單行道（只允許一個方向通行）——這個即為有向圖，

那種雙向N車道就可以稱為是無向圖的邊（手動滑稽）

§度&圖的同構

定理②：（握手引理），對每一個圖G=（V，E），均有：

顯然，任何圖中所有頂點的度的和必為偶數。====》③