jzoj8132 扔骰子
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扔 \(n\) 個骰子，第 \(i\) 個有 \(a_i\) 個面，數值為\(1\)∼\(a_i\)，求扔出點數最大值的期望。
先將 \(a_i\) 排序。
則對於 \(Max=[a_{i-1}+1,a_i]\)，有 \(n-i+1\) 個位置對 \(Max\) 有影響。
此時，最大值為 \(Max\) 的機率為：後 \(n-i+1\) 個都小於等於 \(Max\) 的機率，減去後 \(n-i+1\) 個都小於 \(Max\) 的機率，於是答案為：
\[\sum_{i=1}^n \frac{1}{\prod_{k=i}^{n}a_k}\sum_{j=a_{i-1}+1}^{a_i} j(j^{n-i+1}-(j-1)^{n-i+1})
\]
後面和式除了頭尾的相鄰兩項可以消掉，於是得到：
\[\sum_{i=1}^n \frac{1}{\prod_{k=i}^{n}a_k}(a_i^{n-i+2}-(a_{i-1}+1)\times a_{i-1}^{n-i+1}-\sum_{j=a_{i-1}+1}^{a_i}j^{n-i+1})
\]
後面 \(\sum_{i=1}^ni^k\) 就是 CF622F。
具體來說，經過證明可知 \(\sum _{i=1} ^n i^k\) 是一個 \(k+1\) 次多項式 \(f(n)\)。
\(n+1\) 個點確定一個 \(n\) 次多項式，我們用拉格朗日插值代入 \(n=[1,k+2]\) 這 \(k+2\) 個 \((x=n,y=f(n))\) 的值。
給出 \(n\) 次多項式的拉格朗日插值的公式：
\[f(x)=\sum _{i=1}^{n+1}y_i\prod_{j\ne i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
\]
直接做每次 \(O(k^2)\)，考慮最佳化後面的分子和分母。
帶入 \(k+2\) 個值可以發現，分母是 1乘到i-1 再乘 -1乘到i-k-2，可預處理，而分子也可以用一個字首字尾的乘積表示。
於是複雜度為求 \(k+2\) 個 \(y\) 的 \(O(k\log k)\)。
在這道題中，我們可以 \(O(n^2)\) 預處理 \(y\)，拉格朗日插值變為 \(O(n)\)。
總時間複雜度為 \(O(n^2)\)。