組合遊戲與博弈論基礎

noi001發表於2021-12-05
遊戲

基本定義

策梅洛定理（Zermelo's theorem）

在二人的有限遊戲中，如果雙方皆擁有完全的資訊，並且運氣因素並不牽涉在遊戲中，那先行或後行者當一必有一方有必勝/必不敗的策略。

即對於遊戲局面\(X\)，存在確定的遊戲結果\(P(X)=0\ or\ 1\)，\(succ(X)\)為\(X\)的後繼局面。

推論

  1. 一個狀態是必敗狀態，當且僅當，它的所有後繼狀態都是必勝狀態
    \(P(X)=0⟺∀i, P(succ(X_i))=1\)

  2. 一個狀態是必勝狀態，當且僅當，它的至少一個後繼狀態是必敗狀態
    \(P(X)=1⟺∃i, P(succ(X_i))=0\)

SG遊戲

  • SG遊戲定義：沒有後繼狀態為必敗狀態
    \(succ(X)=∅⇒P(X)=0\)

NIM遊戲

桌上n堆石子，遊戲者輪流在某一堆取若干(>0)個，取走最後一個石子人勝。
最後局面為
\(X_{end}=\{X_1=0,X_2=0,⋯,X_n=0\}\)
可知NIM遊戲是SG遊戲。

Bouton定理

在NIM遊戲中的必勝狀態為：當前局面下所有單堆石子數目的異或和不為0
\(P(X)=((x_1⊕x_2⊕⋯⊕x_n )\neq 0)\)

單堆NIM遊戲

  • SG函式（定義見下）
    \(SG(x)=x\)
  • 遊戲結果
    \(P(x)= \begin{cases} &0 &x=0\\ &1 &otherwise\\ \end{cases}\)

SG函式

一個遊戲局面的SG函式為該局面的後繼局面的SG函式集合的mex值
\(SG(X)=mex(S)\)
其中
\(S=\{SG(succ(X_1) ),SG(succ(X_2) ),⋯SG(succ(X_n) )\}\)
mex表示不在集合內的最小非負整數
\(mex(S)=min⁡(x|(x∈\mathbb{R})\& (x∉S))\)

Sprague-Grundy 定理

遊戲和的SG函式等於各子游戲SG函式的NIM和
\(SG(X)=SG(X_1 )⊕SG(X_2 )⊕⋯⊕SG(X_n )\)
其中
SG遊戲局面為若干SG子游戲之和
\(X=X_1+X_2+⋯+X_n\)

SG函式性質

\(SG(X)=0⟺∀i, SG(succ(X_i))≠0\)
2.
\(SG(X)≠0⟺∃i, SG(succ(X_i))=0\)
3.
\(succ(X)=∅⇒SG(X)=0\)

  • 在SG遊戲（\(succ(X)=∅⇒P(X)=0\)）條件下的等價結論

\(P(X)=0⟺SG(X)=0\)
\(P(X)=1⟺SG(X)≠0\)

反SG(Anti-SG)遊戲

  • Anti-SG遊戲定義：決策集合為空的為必勝狀態
    \(succ(X)=∅⇒P(X)=1\)

反NIM (Anti-NIM)遊戲

桌上n堆石子，遊戲者輪流在某一堆取若干(>0)個，取走最後一個石子人敗。

單堆反NIM遊戲

  • SG函式:不變
    \(SG(x)=x\)
  • 遊戲結果:判斷標準改變
    \(P(x)= \begin{cases} &0 &x=1\\ &1 &otherwise\\ \end{cases}\)
    解釋：
  1. 若堆中有1個石子，根據定義，為必敗狀態。
  2. 若堆中有0個石子，根據定義，為必勝狀態。
  3. 若堆中石子數目大於1，存在導致必敗狀態的取法：取剩下1個石子，因此為必勝狀態。

反NIM遊戲的遊戲結果

\(P(X)= \begin{cases} &SG(X)=0 &∀i,x_i=1\\ &SG(X)≠0 &otherwise \end{cases}\)

Sprague Grundy——Jia Zhihao 定理

對於任意一個 Anti-SG 遊戲，如果我們規定當局面中所有的單一遊戲的 SG 值為 0 時，遊戲結束，則先手必勝當且僅當：

  1. 遊戲的 SG 函式不為 0 且遊戲中某個單一遊戲的 SG 函式大於 1；
  2. 遊戲的 SG 函式為 0 且遊戲中沒有單一遊戲的 SG 函式大於 1。
    即，在Anti-SG遊戲（\(succ(X)=∅⇒P(X)=1\)）條件下的等價結論
    \(P(X)= \begin{cases} &SG(X)=0 &∀i,SG(X_i )≤1\\ &SG(X)≠0 &∃i,SG(X_i )>1 \end{cases}\)

引論

“規定當局面中所有的單一遊戲的 SG 值為 0 時，遊戲結束”過於嚴格， 完全可以替換成“當局面中所有的單一遊戲的 SG 值為 0 時，存在一個單一遊戲它的 SG 函式能通過一次操作變為 1”。
\((∀i,SG(X_i )=0) \& (∃i,SG(succ(X_i ))=1)⇒P(X)=1\)

SG遊戲和反SG遊戲模型

除了上述提到的NIM遊戲和反NIM遊戲，還存在幾類博弈論組合遊戲中的經典變體。

巴什博弈（Bash game）

有一堆總數為n的物品，2名玩家輪流從中拿取物品。每次至少拿1件，至多拿m件，不能不拿，最終將物品拿完者獲勝。
（單堆NIM遊戲變式-有上限的單堆NIM遊戲）

巴什博弈遊戲結果

在先取完者勝的巴什博弈中，若n可被m+1整除，則先手必敗，否則先手必勝。
\(P(n)=((n\%(m+1)) ≠0)\)

反巴什博弈（Anti-Bash game）遊戲結果

在先取完者敗的反巴什博弈中，若n整除m+1的餘數為1則先手必敗，否則先手必勝。
\(P(n)=((n\%(m+1)) ≠1)\)

威佐夫博弈（Wythoff's game）

有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從任一堆取至少一個或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最後取光者得勝。

奇異局勢

\(X=(a[k]，b[k]),k∈\mathbb{R}, P(X)=0\)
\(a[0]=b[0]=0\),\(a[k]\)是未在前面出現過的最小自然數，即\(mex\left(\{a[0],a[1],\cdots,a[k-1],b[0],b[1],\cdots,b[k-1]\}\right)\),而 \(b[k]= a[k] + k\)。

Betty 定理 （Betti theorem）

設\(a\)、\(b\)是正無理數且 \(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} =1\)。記\(P=\{\left. \lfloor na\rfloor \right| n∈\mathbb{N}^+\}\)，\(Q=\{\left. \lfloor nb\rfloor \right| n∈\mathbb{N}^+\}\)，(\(\lfloor x\rfloor\)指的是取\(x\)的整數部分\(floor(x)\))，則\(P\)與\(Q\)是\(\mathbb{N}^+\)的一個劃分，即\(P∩Q=Ø\)且\(P∪Q=\mathbb{N}^+\)。

Betty序列

\(a[n]\)、\(b[n]\)是Betty序列，可以通過Betty定理求解。

\(a_n=[αn],b_n=[βn]\)，有 \(a_n+n=[(α+1)n]=[βn]\)，解方程 \(\frac{1}{α+1}+\frac{1}{\alpha}=1\)

\(α=\frac{\sqrt{5}+1}{2},β=α+1\)

\(a_n =\left[\frac{\sqrt{5}+1}{2} n\right]\)，\(b_n= a_n+n\) （方括號\([x]\)表示四捨五入取整函式\(round(x)\))

參考資料

  1. 百度百科
  2. 維基百科
  3. 《演算法競賽入門提高》劉汝佳
  4. 國家集訓隊論文集2009-賈志豪

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