「程式碼隨想錄演算法訓練營」第三十天 | 動態規劃 part3

云雀AC了一整天發表於2024-08-06
演算法動態規劃

46. 攜帶研究材料（0-1揹包問題）

題目連結：https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1046
文章講解：https://programmercarl.com/揹包理論基礎01揹包-1.html
影片講解：https://www.bilibili.com/video/BV1cg411g7Y6/
題目狀態：看題解過

思路：

建立一個二維的dp陣列，用來進行動態規劃，其中dp[i][j]表示在揹包大小為j、物品為i的情況下，最多能裝入多大價值的東西。
首先當j=0時，也就是揹包容量為0時，價值肯定是0，因此dp[i][0]肯定都是0。
關鍵是如何動態規劃：

  • dp[i][j]肯定是在dp[i-1][j]的基礎上進行的，要判斷當前揹包的大小能否裝下i的物品，
  • 若不能，則繼承dp[i-1][j]的最大價值；
  • 若能，則需要判斷是繼承dp[i-1][j]的價值大還是繼承dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]的價值大。
  • 其中dp[i-1][j-weight[i]]是為了給揹包的容量中留出i體積大小的空餘，以便能裝下i。

dp二維陣列視覺化：

程式碼：

//二維dp陣列實現
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空間
void solve() {
    vector<int> weight(n, 0); // 儲存每件物品所佔空間
    vector<int> value(n, 0);  // 儲存每件物品價值
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weight[i];
    }
    for(int j = 0; j < n; ++j) {
        cin >> value[j];
    }
    // dp陣列, dp[i][j]代表行李箱空間為j的情況下,從下標為[0, i]的物品裡面任意取,能達到的最大價值
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化, 因為需要用到dp[i - 1]的值
    // j < weight[0]已在上方被初始化為0
    // j >= weight[0]的值就初始化為value[0]
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍歷科研物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍歷行李箱容量
            // 如果裝不下這個物品,那麼就繼承dp[i - 1][j]的值
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 如果能裝下,就將值更新為 不裝這個物品的最大值 和 裝這個物品的最大值 中的 最大值
            // 裝這個物品的最大值由容量為j - weight[i]的包任意放入序號為[0, i - 1]的最大值 + 該物品的價值構成
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    while(cin >> n >> bagweight) {
        solve();
    }
    return 0;
}

這道題也可以使用一維的dp陣列來實現，因為每次遍歷的時候都發現當前的dp[i][j]要麼繼承自dp[i - 1][j]，要麼繼承自dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]，因此i一直是被i-1覆蓋的，因此i這一維沒有必要維護，可轉化為一維陣列，如下圖

程式碼如下：

// 一維dp陣列實現
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    // 讀取 M 和 N
    int M, N;
    cin >> M >> N;

    vector<int> costs(M);
    vector<int> values(M);

    for (int i = 0; i < M; i++) {
        cin >> costs[i];
    }
    for (int j = 0; j < M; j++) {
        cin >> values[j];
    }

    // 建立一個動態規劃陣列dp，初始值為0
    vector<int> dp(N + 1, 0);

    // 外層迴圈遍歷每個型別的研究材料
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        // 內層迴圈從 N 空間逐漸減少到當前研究材料所佔空間
        for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {
            // 考慮當前研究材料選擇和不選擇的情況，選擇最大值
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);
        }
    }

    // 輸出dp[N]，即在給定 N 行李空間可以攜帶的研究材料最大價值
    cout << dp[N] << endl;

    return 0;
}

416. 分割等和子集

題目連結：https://leetcode.cn/problems/partition-equal-subset-sum/
文章講解：https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html
題目難度：中等
影片講解：https://www.bilibili.com/video/BV1rt4y1N7jE/
題目狀態：被測試用例誤導，看題解過

思路：

和揹包思路一樣，不過這次的dp陣列用來存的是最大和，dp[i]表示陣列中的某些值加起來小於i的最大值，而當i為target時，dp[i]正好也等於target時，就是找到了我們要找的等和子集，其中target是題目給的陣列中所有元素值之和的一半。
視覺化：

程式碼：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;
        vector<int> dp(10001, 0);
        for(auto &num : nums) {
            sum += num;
        }
        if(sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;
        for(int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; --j) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        if(dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};

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