「程式碼隨想錄演算法訓練營」第三十五天 | 動態規劃 part8

云雀AC了一整天發表於2024-08-12
演算法動態規劃

121. 買賣股票的最佳時機

題目連結：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/
文章講解：https://programmercarl.com/0121.買賣股票的最佳時機.html
題目難度：簡單
影片講解：https://www.bilibili.com/video/BV1Xe4y1u77q
題目狀態：有一半的思路

思路一：貪心

對陣列進行遍歷，分別儲存兩個變數：最小的買入時間left，最大的獲利金額ans，遍歷完就得到答案了。

程式碼：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int left = INT_MAX;
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < prices.size(); ++i) {
            left = min(left, prices[i]);
            ans = max(ans, prices[i] - left);
        }
        return ans;
    }
};

思路二：動規

建立一個二維動規陣列dp[i][]，其大小為vector<len, vector<int>(2)>。

  • dp[i][0]表示在第i天持有所花費的錢，此時並不一定是在i天買入的，也可能是在i-1天買入的，這個就是其動規的公式：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -price[i])。
  • dp[i][1]表示在第i天整到的最多的錢，此時也並不一定必須在i天賣出，也可能是在i-1天賣出的，取決於誰獲利最多，動規公式如下：dp[i][1] = max(price[i] + dp[i - 1][0], dp[i - 1][0])。

image

程式碼：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        if(len == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2));
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1; i < len; ++i) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = max(prices[i] + dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]);
        }
        return dp[len - 1][1];
    }
};

思路二程式碼改進：

由於dp[i][]只有dp[i - 1][]來進行動規，因此只需要維持這兩個數就行，不需要維護其他數，採用滑動視窗的形式，程式碼如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); // 注意這裡只開闢了一個2 * 2大小的二維陣列
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]);
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
        }
        return dp[(len - 1) % 2][1];
    }
};

122. 買賣股票的最佳時機 II

題目連結：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/
文章講解：https://programmercarl.com/0122.買賣股票的最佳時機II（動態規劃）.html
題目難度：中等
影片講解：https://www.bilibili.com/video/BV1D24y1Q7Ls
題目狀態：有一半的思路

思路一：貪心

這題在學習貪心演算法的時候做過，只需要遍歷陣列，然後將具有正收益的盈利金額加起來。

程式碼：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int res = 0;
        for(int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
            res += max(prices[i] - prices[i - 1], 0);
        }
        return res;
    }
};

思路二：動態規劃

這裡和上一題一樣，也要維持一個二維動規陣列，但有一個地方需要改變，就是在dp[i][0]的計算上，上一題因為只能進行一次交易，所以dp[i][0]要麼是dp[i - 1][0]（在第i天之前已經進行買入），要麼是-price[i]（在當天買入）。但這道題中，我們可以進行多次交易，因此dp[i][0]要麼是dp[i - 1][0]（在第i天之前進行買入），要麼是dp[i - 1][1] - price[i]（在當天進行買入，我們要將之前的收益也要加進來）。
要始終記得：dp[i][0]表示第i天持有股票的最大利潤；dp[i][1]表示第i天不持有股票的最大利潤。

程式碼：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        if(len == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2));
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1; i < len; ++i) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
        }
        return dp[len - 1][1];
    }
};

滾動陣列版本：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); // 注意這裡只開闢了一個2 * 2大小的二維陣列
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
        }
        return dp[(len - 1) % 2][1];
    }
};

123. 買賣股票的最佳時機 III

題目連結：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/
文章講解：https://programmercarl.com/0123.買賣股票的最佳時機III.html
題目難度：困難
影片講解：https://www.bilibili.com/video/BV1WG411K7AR
題目狀態：沒思路

思路：

這次的動規陣列主要維護的是五個狀態：

  1. 無操作
  2. 第一次持有股票
  3. 第一次不持有股票
  4. 第二次持有股票
  5. 第二次不持有股票

dp[i][j]中i表示第i天，j就是上面五個狀態，dp[i][j]表示第i天狀態j的所剩最大現金。

因此：每個狀態就會有兩種操作：

  • 有操作：假設是狀態1，那麼就表示當天買入股票了，則dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]。
  • 沒操作：就是這天沒進行買入操作，那麼dp[i][1] = dp[i - 1][1]。

其他狀態同上。

image

程式碼：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        if(len == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(5));
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for(int i = 1; i < len; ++i) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
        return dp[len - 1][4];
    }
};

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