UOJ460 新年的拯救計劃
\(n\) 點完全圖。選出儘量多生成樹。輸出方案。 \(n\le1000\)。
考慮上界，總共有 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 條邊，也就是最多可以分成 \(\frac{n}{2}\) 棵樹。
嘗試證明這個上界可以達到。我們考慮歸納法，假設 \(n = 2k\) 可行。
考慮 \(2k + 1\)，我們可以將每棵生成樹選一個不同的點連向 \(2k + 1\)，考慮到只有 \(k\) 棵，顯然是夠的。
考慮 \(2k + 2\)，由 \(1 \sim k\) 連向 \(2k + 1\)，\(k + 1 \sim 2k\) 連向 \(2k + 2\)，然後再加一棵生成樹，由 \(1 \sim k\) 連向 \(2k + 2\) 和 \(k + 1 \sim 2k\) 連向 \(2k + 1\)，同時連 \(2k + 1\) 和 \(2k + 2\)。
這是一個構造的方法。這題就完了。
CF1558C Bottom-Tier Reversals
首先觀察性質：位置的奇偶性不會改變，所以如果一開始奇偶性就錯了肯定不行。
接著我們需要確定一個大體思路，如何做排序？由於是對字首操作，我們考慮倒著往前一步步還原。
所以我們現在先考慮如何把最後兩個變成 \(n - 1, n\)，觀察最終的長度約束，如果我們能在 5 步內完成，那麼這個問題就解決了。
第一步：找到 \(n\)，使其變成第一個。
第二步：找到 \(n-1\)，使 \(n\) 變成 \(n-1\) 前面的元素。
第三步：翻轉使得 \(n-1\) 第二個，\(n\) 第三個。
第四步：翻轉使得 \(n\) 第一個，\(n-1\) 第二個。
第五步：翻轉使得 \(n\) 最後，\(n-1\) 倒數第二。
然後就順利解決了這道題。
P6892 [ICPC2014 WF] Baggage
神仙構造。
首先看到這種題肯定是要手玩小資料並且猜下界，根據樣例不難猜出下界是 \(n\)。
證明下界分兩步，首先是證明不存在更小的，其次是構造一個。
我們先考慮證明不存在更小的，觀察題目的性質發現，如果我們記相鄰兩個位置相同的個數為 \(\phi\)，則我們從 \(0 \to 2n-1\)，由於每次最多新增兩個且第一次最多新增一個，所以至少 \(n\) 次。
根據這個，我們可以手玩出 \(n = 4\) 的情況：
進一步，我們嘗試去歸納 \(n\) 更大的情況，我們發現可以這樣做：
剛好 \(n\) 次，但是這裡要求存在使得只往前移兩位的方法，所以 \(n-4 \ge 4\)，意味著我們需要自己手玩 \(n = 3,4,5,6,7\) 的情況。