「貪心」做題記錄

DengStar發表於2024-11-12

「貪心」做題記錄

  1. P2672 [NOIP2015 普及組] 推銷員

    由於不會走多餘的路，所以行走產生的疲勞值只和最遠的被推銷的住戶有關。設 \(f_X(i)\) 表示總共選 \(X\) 家住戶，且第 \(i\) 戶是最遠的被推銷的住戶的情況下，最大的疲勞值。顯然可以貪心地在前 \(i-1\) 戶中選擇 \(X-1\) 戶疲勞值最大的住戶，所以 \(f_X(i) = 2S_i + A_i + 前(i-1)個A_j中最大的(X-1)個A_j的和\)。

    可以用小根堆（優先佇列）維護前 \(k\) 大和。由於要列舉 \(X\)，總的時間複雜度為 \(O(N^2\log N)\)，可以得到 60 分。程式碼

    下面是本題的正解貪心做法。

    考慮貪心地選取前 \(X\) 個疲勞值最大的住戶。但這並不一定是最優的：我們可能選取一個疲勞值更小，但比原來所有住戶都更遠的住戶，從而透過行走距離獲得更大的疲勞值。

    具體地，我們要放棄原先的多少個住戶呢？實際上最多放棄 1 個，然後選擇未被選擇的住戶中，\(2S_i+A_i\) 最大的住戶 \(i\)。如果放棄多於 1 個住戶，一定不優於只放棄 1 個。（不知道怎麼表達證明過程）

    AC 程式碼

  2. [ABC137D] Summer Vacation

    如果一個工作在某一天做完之後，直到結束都不能領到工資，那麼還不如不做。所以可以把一個工作可以做的區間看作一段字首。從後往前列舉天數，維護可以做的工作的集合，每次選擇集合中價值最大的工作來做。（不會嚴謹證明，但字首的觀點或許有助於理解。）

    提交記錄

  3. [AGC004D] Teleporter

    洛谷的題解都他媽是什麼東西？怎麼都這麼意識流，還有的是如寫

    首先根據題目中圖的性質，可以得出在忽略 \(1\) 出發的邊以後，圖一定是一棵以 \(1\) 為根的內向樹。

    證明：刪去 \(1\) 出發的邊顯然不影響其它點到 \(1\) 的可達性，這時邊數 \(=\) 點數 \(-1\)。根據連通性，可以得知圖是樹。再根據除了 \(1\) 之外的點都可達 \(1\)，可以得知圖是以 \(1\) 為根的內向樹。

    從樹的角度來看，可以得出 \(1\) 必須指向自己。因為在樹上兩點的路徑唯一，而且是內向樹，如果一個點的深度小於 \(K\)，並且沒有這個自環，它就無法透過恰好 \(K\) 次傳送到達 \(1\)。

    如果一個點的深度大於 \(K\)，那麼它顯然無法經過恰好 \(K\) 次傳送到達根節點；否則一定可以，缺少的部分可以透過一直走 \(1\) 的自環來補足。那麼我們把問題轉化成了：給定一棵樹，修改最少的邊，使得所有點的深度不大於 \(K\)。

    這個問題還可以進一步轉化：刪除最少的邊，使得剩下的所有弱連通塊（每個弱連通塊都是樹）都滿足以下條件：

    • 如果根節點為 \(1\)，那麼樹的高度不超過 \(K\)。
    • 否則，樹的高度不超過 \(K - 1\)。

    採用 dfs ，自下往上解決此問題。如果一棵子樹的高度大於等於 \(K - 1\)，並且它的父節點不是 \(1\)，那麼需要刪除它連向父節點的邊，否則更新父節點的高度。

    function<void(int)> dfs = [&](int u)
{
    h[u] = 0;
    for(int v: G[u])
    {
        dfs(v);
        if(u != 1 && h[v] == K - 1)
            ans++;
        else
            h[u] = max(h[u], h[v] + 1);
    }
};
dfs(1);

    這樣得出來的圖一定滿足條件，但刪邊數的最少性不會證明。官方題解用的就是這個做法。

    完整程式碼

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