P2057 [SHOI2007]善意的投票 / [JLOI2010]冠軍調查( 最小割 )

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題意

n個人都有自己的意見（總共兩種），n個人中有m對朋友，為了朋友，他們也可以投和自己本來意願相反的票。一次投票的衝突數為好朋友之間發生衝突的總數加上和所有和自己本來意願發生衝突的人數。應該怎樣投票，才能使衝突數最小？

思路

兩種意見可以看作源點 S 和匯點 T 所代表的兩個集合，我們的目的是割最少的邊使得 S 和 T 成為兩個無交集的集合（因為若 S 和 T 連通，則必然存在一條路徑，這樣肯定會有衝突，所以需要使 S 和 T 孤立）。
例：
假設 S -> A -> B -> T，S -> A 表示 A 本意是集合 S ，B -> T 表示B本意是集合 T ，A -> B 表示 A 要求 B 與它同立場，反之 B -> A 表示，B 要求 A 與它同立場 ；
如果切斷 S -> A 這條邊，表示點 A 選擇了集合 T，衝突加一 ;
如果切斷 B -> T 這條邊，表示點 B 選擇了集合 S，衝突加一 ;
如果切斷 A -> B 這條邊，表示 A 與 B 的立場不同，衝突加一；
最後求得的最小割就是衝突的最小值。（ 割掉一條邊相當於一次衝突，因為若某邊被割走，則顯然這條邊相連的兩個點分別通向了集合 S 和集合 T ，所以算是一次衝突 ）

整體建圖：

源點->同意的人->不同意的人->匯點

具體建圖：

1）同意睡覺的人與源點 S 建邊
2）不同意睡覺的人與匯點 T 建邊
3）好朋友之間雙向建邊 （ 例：A 與 B的朋友關係是相對的，A 要求 B 與它同立場，那麼 B 肯定也要求 A 與它同立場，所以好朋友 A 和 B 之間應該建立雙向邊）

根據最大流最小割定理 最小割等於最大流

所以，建完圖後跑一邊最大流就歐克

程式碼

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+10;
struct node
{
    int to;
	int next;
	ll val;
}edge[maxn];
int head[maxn],tot;
void add(int u,int v,int val)
{
    edge[tot].to=v;
	edge[tot].val=val;
    edge[tot].next=head[u];
	head[u]=tot++;
	edge[tot].to=u;
	edge[tot].val=0;
    edge[tot].next=head[v];
	head[v]=tot++;
}
int deep[maxn];
int cur[maxn];
int n,m,p,q,x,y;
ll res;
int s;
int t;
int dfs(int pos,int flow)
{
    if(pos==t) return flow;
    int rest=flow,k,i;
    for(i=cur[pos];i!=-1&&rest;i=edge[i].next)
    {
    	int v=edge[i].to;
        int val=edge[i].val;
        if(deep[v]==deep[pos]+1&&val)
        {
            k=dfs(v,min(val,rest));
            if(!k) deep[v]=0;
            edge[i].val-=k;
            edge[i^1].val+=k;
            rest-=k; 
        }
	}
	cur[pos]=i;
    return flow-rest;
}
bool bfs()
{
	memset(deep,0,sizeof(deep));
    deep[s]=1;
    queue<int>q; 
    q.push(s);
    cur[s]=head[s];
    while(q.size())
    {
        int now=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].next)
		{
			int v=edge[i].to;
            if(edge[i].val&&!deep[v])
            {
            	q.push(v);
            	cur[v]=head[v];
                deep[v]=deep[now]+1;
				if(v==t) return 1;
            }
		}
    }
    return 0;
}
void dinic()
{
	while(bfs())
        res+=dfs(s,0x3f3f3f3f);
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	memset(head,-1,sizeof(head));
	cin>>n>>m;
	s=n+1,t=n+2;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>x;
		if(x==1)
			add(s,i,1);
		else
			add(i,t,1);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>x>>y;
		add(x,y,1);
		add(y,x,1);
	}
    dinic();
    printf("%lld\n",res);
	return 0;
}