偷寶石（最大流轉化最小割）

ruoye123456發表於2024-08-20

題目描述
\(n\)個寶石，\(m\)個保安，每個保安監控著一些寶石。

偷走第\(i\)個寶石能賣\(a[i]\)元，賄賂第\(i\)個保安需要\(b[i]\)元，你能偷走某個寶石當且僅當監控它的保安都被你賄賂過了。

問你的最大收益是多少。
輸入
第一行包含一個正整數\(T(1\leq T\leq 10)\)，表示測試資料的組數。

每組資料第一行包含兩個正整數\(n,m(1\leq n,m\leq 50)\)。

第二行包含\(n\)個正整數\(a[1],a[2],\dots,a[n](1\leq a[i]\leq 10000)\)。

第三行包含\(m\)個正整數\(b[1],b[2],\dots,b[m](1\leq b[i]\leq 10000)\)。

接下來\(n\)行，每行一個長度為\(m\)的01串，如果第\(i\)行第\(j\)個字元為'1'，說明第\(i\)個寶石被第\(j\)個保安監控著，否則說明第\(i\)個寶石沒有被第\(j\)個保安監控著。
輸出
對於每組資料輸出一行一個整數，即最大收益。

題解：考慮以及獲得了所有的寶石，此時刪去一些必要的邊作為代價，總收入減去花費的最小代價就是最大流

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef vector<string> VS;
const int N = 110,INF = 1e9;
struct Edge {
  int from, to, cap, flow;
  Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};

bool operator < (const Edge& a, const Edge& b) {
  return a.from < b.from || (a.from == b.from && a.to < b.to);
}

struct ISAP {
  int n, m, s, t;
  vector<Edge> edges;
  vector<int> G[N];
  bool vis[N];
  int d[N],cur[N],p[N],num[N];

  void AddEdge(int from, int to, int cap) {
    edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
    edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0));
    m = edges.size();
    G[from].push_back(m - 2);
    G[to].push_back(m - 1);
  }

  bool BFS() {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    queue<int> Q;
    Q.push(t);
    vis[t] = 1;
    d[t] = 0;
    while (!Q.empty()) {
      int x = Q.front();
      Q.pop();
      for (int i = 0; i < G[x].size(); i++) {
        Edge& e = edges[G[x][i] ^ 1];
        if (!vis[e.from] && e.cap > e.flow) {
          vis[e.from] = 1;
          d[e.from] = d[x] + 1;
          Q.push(e.from);
        }
      }
    }
    return vis[s];
  }

  void init(int n) {
    this->n = n;
    for (int i = 0; i < n; i++) G[i].clear();
    edges.clear();
  }

  int Augment() {
    int x = t, a = INF;
    while (x != s) {
      Edge& e = edges[p[x]];
      a = min(a, e.cap - e.flow);
      x = edges[p[x]].from;
    }
    x = t;
    while (x != s) {
      edges[p[x]].flow += a;
      edges[p[x] ^ 1].flow -= a;
      x = edges[p[x]].from;
    }
    return a;
  }

  int Maxflow(int s, int t) {
    this->s = s;
    this->t = t;
    int flow = 0;
    BFS();
    memset(num, 0, sizeof(num));
    for (int i = 0; i < n; i++) num[d[i]]++;
    int x = s;
    memset(cur, 0, sizeof(cur));
    while (d[s] < n) {
      if (x == t) {
        flow += Augment();
        x = s;
      }
      int ok = 0;
      for (int i = cur[x]; i < G[x].size(); i++) {
        Edge& e = edges[G[x][i]];
        if (e.cap > e.flow && d[x] == d[e.to] + 1) {
          ok = 1;
          p[e.to] = G[x][i];
          cur[x] = i;
          x = e.to;
          break;
        }
      }
      if (!ok) {
        int m = n - 1;
        for (int i = 0; i < G[x].size(); i++) {
          Edge& e = edges[G[x][i]];
          if (e.cap > e.flow) m = min(m, d[e.to]);
        }
        if (--num[d[x]] == 0) break;
        num[d[x] = m + 1]++;
        cur[x] = 0;
        if (x != s) x = edges[p[x]].from;
      }
    }
    return flow;
  }
};
ISAP FG;
int a[N],b[N];
void solve()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	VS g(n);
	int s = 0,t = n+m+1;
	FG.init(n+m+2);
	int sum = 0;
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i], sum +=a[i];
	for(int i=1;i<=m;++i) cin>>b[i];
	
	//建立從源點到寶石的邊
	for(int i=1;i<=n;++i) FG.AddEdge(s,i,a[i]);
	//建立從警察到匯點的邊
	for(int i=1;i<=m;++i) FG.AddEdge(i+n,t,b[i]);
	
	//注意g[i]的下標是[0,n-1]
	for(int i=0;i<n;++i) cin>>g[i];
	//若有寶石和警察的關係建一條INF邊不能刪除
	for(int i=0;i<n;++i) 
	 for(int j=0;j<m;++j)
	 if(g[i][j]=='1') FG.AddEdge(i+1,j+1+n,INF);
	
	//一條S->T的路徑表示保留的一個寶石同時沒有賄賂守護其的警察是非法方案
	cout<<sum - FG.Maxflow(s,t)<<'\n';
}
int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		solve();
	}
}

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