[SHOI2007]書櫃的尺寸 題解

2017BeiJiang發表於2024-05-26

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設 \(f_{i,t1,t2}\) 表示前 \(i\) 本書，第一層的寬度為 \(t1\)，第二層的寬度為 \(t2\)，所需要的最小高度。
第三層寬度 \(t3=\sum_{i=1}^{i}t_i-t1-t2\)。

但本題還有一個重要限制：每層的高度取決於該層最高的書，如果直接按照順序加入書本，從 \(dp\) 的狀態來看，無法確定新書本能否成為最高的書。

為了解決這個問題，先將書本按照高度從大到小排序，按照從大到小的順序加入書本，那麼每層第一本加入的書就是該層最高的書。而從 \(dp\) 的狀態可以看出該層有沒有書（從 \(t1/t2/t3\) 是否為 \(0\) 即可看出），從而確定書本是否是第一次加入。

直接 \(dp\) 空間上難以承受，滾動陣列最佳化即可。

本題使用刷表法更好些，可以使得 “加入” 這一操作更加直觀。

總結：對於以一串數字中的最大值作為貢獻的，考慮先排序，再進行 \(dp\)。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=2110;
int n;
int f[N][N],d[N][N];
struct node {
    int h,t;
}a[N];

int cmp(node x,node y) {
    return x.h>y.h;
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].h>>a[i].t;
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0][0]=0;
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        memcpy(d,f,sizeof(f));
        memset(f,0x3f,sizeof(f));
        for(int t1=0;t1<=sum;t1++) {
            for(int t2=0;t2<=sum;t2++) {
                if(!t1&&t2) break;
                int t3=sum-t1-t2;
                if(t3<0||(!t1&&!t2&&t3)) break;
                if(t1==0) f[t1+a[i].t][t2]=min(f[t1+a[i].t][t2],d[t1][t2]+a[i].h);
                if(t1&&t2==0) f[t1][t2+a[i].t]=min(f[t1][t2+a[i].t],d[t1][t2]+a[i].h);
                if(t1&&t2&&t3==0) f[t1][t2]=min(f[t1][t2],d[t1][t2]+a[i].h);
                if(t1) f[t1+a[i].t][t2]=min(f[t1+a[i].t][t2],d[t1][t2]);
                if(t2) f[t1][t2+a[i].t]=min(f[t1][t2+a[i].t],d[t1][t2]);
                if(t3) f[t1][t2]=min(f[t1][t2],d[t1][t2]);
            }
        }
        sum+=a[i].t;
    }
    LL minn=1e18;
    for(int t1=1;t1<=sum;t1++) {
        for(int t2=1;t2<=sum;t2++) {
            int t3=sum-t1-t2;
            if(t3<=1) continue;
            minn=min(minn,1ll*max({t1,t2,t3})*f[t1][t2]);
        }
    }
    cout<<minn;
    return 0;
}

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