卡特蘭數
參考部落格
介紹
卡特蘭數為組合數學中的一種特殊數列，用於解決一類特殊問題
設\(f(n)\)為卡特蘭數的第n項
其通項公式為
\[f(n)=\frac{2n\choose n}{n+1}
\]
關於它的證明
當然也有遞推式
\[f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(i)\ast f(n-i-1)
\]
最常用的則是對於通項的變形式
\[f(n)={2n\choose n}-{2n\choose n-1}
\]
在此給出一較易的證明
例題
我們來看一道例題洛谷 p1641 生成字串
比較模板的一道卡特蘭數的例題，用上面給出的公式可以直接求解，我們對本題建模，假設m=n,我們建立一個
\(n*n\)的網格圖,把0看作向上走一個單位，把1看作向右走一個單位，我們以\((0,0)\)為起點，\((n,n)\)為終點，
考慮到本題的限制，即在任意的前 k 個字元中，1 的個數不能少於 0 的個數，所以，每一個合法的路
徑都不能越過該網格圖的對角線，設直線\(l\)為將對角線向上平移一個單位所得到的直線，所有經過
\(l\)的路徑都是非法路徑，我們用所有路徑數減去非法路徑數就是合法的路徑數，設\(x\)為一非法路徑與
直線\(l\)的交點，對該路徑\(x\)後的部分以\(l\)為對稱軸對稱過去，我們發現，所有非法路徑對稱後的
終點都為\((n-1,n+1)\)因為所有的對稱後路徑與先前的非法路徑都是一一對應的，所以，非法路徑個數
就是對稱後路徑個數，所以，用所有路徑減去非法路徑就是合法路徑個
數，其實答案就是上面第三個公式。
對於\(m<=n\),同樣的思路，只不過非法路徑的終點與\(m=n\)不一樣了，只需
要求出對稱點，其餘與上相同
如果不是很清楚,建議看一下第三個公式的證明的部落格
程式碼
具體求組合數採用盧卡斯定理
注意，在遇到需要取模後輸出的題目，算出的答案可能為負數，所以就需要+mod後%mod，本題如果不這樣寫的話只有70分
.
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=3e6+10;
const int p=20100403;
int n,m;
int a[maxn];
int power(int x,int t)
{
if(x==0) return 0;
x%=p;
int b=1;
while(t)
{
if(t&1) b=b*x%p;
x=x*x%p; t>>=1;
}
return b;
}
int cm(int a1,int b1){
if(a1<b1)
return 0;
return (a[a1]*power(a[b1],p-2)%p)*power(a[a1-b1],p-2)%p;
}
int lucas(int n,int m,int p){
if(!m){
return 1;
}
return cm(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>m;
a[0]=1;
for(int i=1;i<=n+m+10;i++){
a[i]=(a[i-1]*i)%p;
}
int nn=m-1;
int mm=n-nn+m;//(nn,mm)為非法路徑的終點
cout<<(lucas(n+m,n,p)-lucas(nn+mm,nn,p)+p)%p;
return 0;
}