P1447 [NOI2010] 容斥原理

題意

傳送門 P1447 [NOI2010]能量採集

題解

對於任一顆植物，設其座標為 $(x,y)$，能量損失為 $2\times [gcd(x,y)-1]-1=2\times gcd(x,y)-1$，於是答案為 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[2\times gcd(i,j)-1]=2\times \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)-n\times m$。

考慮最大公約數相同的數對數量，則需要列舉 $max(n,m)$ 個公約數。設 $f(x)$ 為區域中最大公約數為 $x$ 的數對，不容易直接求解，考慮容斥原理。若某一數對存在公約數 $x$ 則其最大公約數 $gcd(i,j)\ge x$，那麼列舉區域內的 $f[kx],k\in Z^{+}$，將其減去即可。估計複雜度為 $O(li{m}_{i\to \infty }\sum _{i=1}^{max(n,m)}\frac{max(n,m)}{i})=O(nlogn)$

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define maxn 100005
typedef long long ll;
ll f[maxn];

int main()
{
    ll n, m, res = 0;
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    ll limit = max(n, m);
    for (ll i = limit; i; --i)
    {
        f[i] = (n / i) * (m / i);
        for (int j = (i << 1); j <= limit; j += i)
            f[i] -= f[j];
        res += i * f[i];
    }
    printf("%lld\n", res * 2LL - n * m);
    return 0;
}